Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

focos F ± 8,0 , excentricidade 4 3

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o vértice está no eixo O x , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O x , assim vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , h e k .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é 0,0 e como os focos são F ± 8,0 o valor de c é c = 8 , e a excentricidade é calculada por:

e = c a

Vamos então encontrar o valor de a :

e = c a → 4 3 = 8 a → 4 a = 24 → a = 6

Para achar a equação da hipérbole só nos falta encontrar b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 8 2 = 6 2 + b 2 → 64 = 36 + b 2 → b 2 = 28 → b = 28

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 0 2 6 2 - y - 0 2 28 2 = 1 → x 2 36 - y 2 28 = 1 → 7 x 2 - 9 y 2 252 = 252 252 →

→ 7 x 2 - 9 y 2 - 252 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é o valor a = 6 vamos ter que as coordenadas de x são:

0 + 6 = 6

0 - 6 = - 6

E a y é constante e igual a 0 , assim os vértices são A 1 6 , 0 e A 2 - 6 , 0 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 7 x 2 - 9 y 2 - 252 = 0 :

Resposta

7 x 2 - 9 y 2 - 252 = 0

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