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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.2 - Ex. 2

Determinar uma matriz M ∈ M 4   ( R ) , inversível, tal que M - 1 A M seja diagonal, sendo

A = 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 - 2

Passo 1

Nós temos

A = 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 - 2

Vamos deixar ela com a carinha de uma matriz triangular superior, ou seja, abaixo da diagonal principal será só zero! Vamos trocar a Linha 2 pela Linha 1, e Linha 4 com a Linha 3, ficando

2 1 5 8 0 1 5 9 0 0 1 - 2 0 0 0 3

Mas porque fizemos isso? Jajá explicaremos!

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

2 1 5 8 0 1 5 9 0 0 1 - 2 0 0 0 3 - λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = 2 - λ 1 5 8 0 1 - λ 5 9 0 0 1 - λ - 2 0 0 0 3 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! A matriz triangular é espetacular, porque podemos simplesmente multiplicar a diagonal principal para encontrar o determinante. Assim, a equação característica é

2 - λ 1 - λ 2 ( 3 - λ )

Finalmente, para encontrar os autovalores temos que igualar a zero. Como está multiplicando termo por termo, se um termo for zero, teremos uma igualdade, dessa forma

2 - λ ⏝ = 0 1 - λ 2 3 - λ = 0

( 2 - λ ) 1 - λ 2 ⏝ = 0 3 - λ = 0

2 - λ 1 - λ 2 3 - λ ⏝ = 0 = 0

Automaticamente, os autovalores serão

λ 1 = 2 ,       λ 2 = λ 3 = 1 ,     λ 4 = 3

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = 2

2 - λ 1 5 8 0 1 - λ 5 9 0 0 1 - λ - 2 0 0 0 3 - λ = 0 1 5 8 0 - 1 5 9 0 0 - 1 - 2 0 0 0 1

Colocando no sisteminha de equações

0 1 5 8 0 - 1 5 9 0 0 - 1 - 2 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Assim a matriz estendida é

0 1 5 8 0 0 - 1 5 9 0 0 0 - 1 - 2 0 0 0 0 1 0

Simplificando

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

x 1 = t x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = 0 → 1 0 0 0

Logo o vetor é

1 0 0 0

Passo 4

Agora vamos para λ 2 = λ 4 = 1

2 - λ 1 5 8 0 1 - λ 5 9 0 0 1 - λ - 2 0 0 0 3 - λ = 1 1 5 8 0 0 5 9 0 0 0 - 2 0 0 0 2

Colocando no sisteminha de equações

1 1 5 8 0 0 5 9 0 0 0 - 2 0 0 0 2 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Simplificando a matriz estendida

1 1 5 8 0 0 0 5 9 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 2 0 ∼ 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Então

x 1 + x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = 0 x 1 = t → x 2 = - t x 3 = 0 x 4 = 0 x 1 = t           o u           x 1 + x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = 0 x 2 = t → x 1 = - t x 3 = 0 x 4 = 0 x 2 = t

Assim, os vetores podem ser

1 - 1 0 0   e   - 1 1 0 0

Passo 5

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 4 = 3

2 - λ 1 5 8 0 1 - λ 5 9 0 0 1 - λ - 2 0 0 0 3 - λ = - 1 1 5 8 0 - 2 5 9 0 0 - 2 - 2 0 0 0 0

Colocando no sisteminha de equações

- 1 1 5 8 0 - 2 5 9 0 0 - 2 - 2 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Simplificando a matriz estendida

- 1 1 5 8 0 0 - 2 5 9 0 0 0 - 2 - 2 0 0 0 0 0 0 ∼ 1 0 0 - 5 0 0 1 0 - 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

Colocando em um sistema de equações

x 1 - 5 x 4 = 0 x 2 - 2 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 x 4 = t → x 1 = 5 x 4 x 2 = 2 x 4 x 3 = - x 4 x 4 = t → x 1 = 5 t x 2 = 2 t x 3 = - t x 4 = t

Logo o vetor é

5 2 - 1 1

Passo 6

Juntando os autovalores, teremos a matriz

2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3

Assim, colocando os autovetores na indicação dos autovalores, temos M igual a

M = 1 1 - 1 5 0 - 1 1 2 0 0 0 - 1 0 0 0 1

Resposta

M = 1 1 - 1 5 0 - 1 1 2 0 0 0 - 1 0 0 0 1

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Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:e) 1 1 0 1 1 0 0 0 1
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:g) 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:c) 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:d) 0 0 0 0 2 2 0 2 2
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:a) 2 2 2 2