Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 9
- Determinar as matrizes das rotações em que admitem valores e vetores próprios.
- Determinar os valores e os vetores próprios das rotações referidas em (a).
Passo 1
a) As matrizes de rotação em são da forma:
Queremos encontrar as matrizes desse formato que atendem a equação:
Primeiro, pensa o seguinte. Essa equação quer dizer o que? Que multiplicado pela matriz, a única coisa que vai acontecer com o vetor é se esticar, comprimir ou virar pro outro lado. Ele não pode trocar de direção em hipótese alguma. Então essa é a dica! Quais rotações que não mudam a direção do vetor? Pois é, a de e a de . É isso!
Passo 2
b) Vamos calcular os valores e vetores próprios das rotações que encontramos. Primeiro bora na de :
Os valores próprios aqui são todos iguais a . Essa não é a matriz identidade? Como a gente já viu, todos os vetores são vetores próprios da matriz identidade, exceto o vetor nulo, porque a identidade mantém o vetor na mesma direção, que é exatamente o que a gente quer!
Passo 3
Agora vamos ver a de :
Os valores próprios são todos iguais a . Aqui, os vetores próprios também são todos exceto o nulo, porque ao rodar de , todo vetor continua na mesma direção!
Resposta
- ,
- e : todos os vetores, exceto o nulo.