Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 8
Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
- Calcular .
- Determinar .
- Qual a matriz do operador na base ?
Passo 1
Essa parada aí de mexer no comprimento sem alterar direção... Isso aí tá cheirando a vetor próprio! Porque olha só o que ele tá dizendo que acontece:
Agora vamos tentar chegar na transformação dos vetores canônicos! Pra isso, primeiro faz a primeira relação menos duas vezes a segunda:
Dividindo por :
Agora pega aquela segunda equação e subtrai dela o que encontramos agora:
Passo 2
Olha só o que a gente tem até aqui:
Daqui a gente faz assim, ó:
Somando, vamos obter:
Beleza, encontramos a resposta da letra (b). Agora vamos substituir e pra encontrar a resposta da letra (a):
Passo 3
A matriz do operador na base é justamente uma matriz que, ao multiplicar esses vetores, realiza a mesma coisa que a transformação, ou seja, dobra o primeiro e triplica o segundo. Então:
Multiplicando, vamos obter:
Daí, obtemos:
Por isso, nossa matriz é: