Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 5
Os vetores e são vetores próprios de um operador linear , associados a e , respectivamente. Determinar a imagem do vetor por esse operador.
Passo 1
Quando fala em valor e vetor próprio, a primeira coisa que tem que vir na cabeça é aquela fórmula da definição deles:
Vamos escrever o que a gente tem então, porque senão a gente não sai do lugar! Primeiro pro vetor :
Escreve também pro vetor :
Passo 2
Então a gente tem um sisteminha:
A gente quer a transformação aplicada no vetor . O que é legal nessa parada de transformação é que a gente pode sair aplicando elas nos vetores! Pra ver o que eu quero dizer, vamos escrever o vetor como combinação linear de e .
Subtraindo as equações, obtemos:
E substituindo na primeira:
Passo 3
Então a combinação linear pod ser escrita como:
Aqui que entra a beleza das transformações lineares! Aplica a transformação nesses vetores aí:
Substituindo o que encontramos ali em cima:
Beleza, isso era exatamente o que a gente queria!