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Enunciado

Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 2c

2. Determinar a solução da equação diferencial que satisfaz as condições indicadas:

a) y ' ' + 2 y = 0                     y 0 = 2                     y ' 0 = 2 2 ;

b) 4 y ' ' - 12 y ' + 9 y = 0                     y 0 = 1                     y ' 0 = 7 2 ;

c) y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0                     y 0 = 3                     y ' 0 = 2 .

Passo 1

c) vamos achar as raízes do polinômio característico:

x 2 - 3 x + 2 = 0

Fazemos bhaskara, nee, então:

x 1 = 1

x 2 = 2

Passo 2

Como temos duas raízes reais e distintas, então a solução geral vai ser:

y t = k 1 e x 1 t + k 2 e x 2 t

y t = k 1 e t + k 2 e 2 t

Então a nossa solução geral:

y t = k 1 e t + k 2 e 2 t

Passo 3

Vamos derivar uma vez:

y ' t = k 1 e t + 2 k 2 e 2 t

Aplicando a primeira condição inicial:

y 0 = k 1 e 0 + k 2 e 2 0

3 = k 1 1 + k 2 1

k 1 + k 2 = 3

E a outra condição:

y ' 0 = k 1 e 0 + 2 k 2 e 2 0

2 = k 1 1 + 2 k 2 1

k 1 + 2 k 2 = 2

Passo 4

Resolvendo o sisteminha:

k 1 + k 2 = 3 k 1 + 2 k 2 = 2

k 2 = - 1

k 1 = 4

E a solução, então:

y t = - 1 e t + 4 e 2 t

Resposta

y t = - 1 e t + 4 e 2 t

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