Enunciado

2. Determinar a solução da equação diferencial que satisfaz as condições indicadas:

a) y ' ' + 2 y = 0                     y 0 = 2                     y ' 0 = 2 2 ;

b) 4 y ' ' - 12 y ' + 9 y = 0                     y 0 = 1                     y ' 0 = 7 2 ;

c) y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0                     y 0 = 3                     y ' 0 = 2 .

Passo 1

b) Primeiro vamos vamos ter que deixar o que vem antes do y ' ' igual a 1...

4 4 y ' ' - 12 4 y ' + 9 4 y = 0

y ' ' - 3 y ' + 9 4 y = 0

E agora vamos achar as raízes do polinômio característico:

x 2 - 3 x + 9 4 = 0

Fazemos bhaskara, nee, então:

x 1 = x 2 = x = 3 2

Passo 2

Como temos duas raízes reais e iguais, então a solução geral vai ser:

y t = k 1 e x t + k 2 t e x t

y t = k 1 e 3 2 t + k 2 t e 3 2 t

Então a nossa solução geral:

y t = k 1 e 3 2 t + k 2 t e 3 2 t

Passo 3

Vamos derivar uma vez:

y ' t = 3 2 k 1 e 3 2 t + k 2 e 3 2 t + 3 2 k 2 t e 3 2 t

Aplicando a primeira condição inicial:

y 0 = k 1 e 3 2 0 + k 2 0 e 3 2 0

1 = k 1 1 + k 2 0

k 1 = 1

E a outra condição:

y ' 0 = 3 2 1 e 3 2 0 + k 2 e 3 2 0 + 3 2 k 2 0 e 3 2 0

7 2 = 3 2 1 + k 2 1 + 3 2 k 2 0

k 2 = 2

Então a solução vai ser:

y t = e 3 2 t + 2 t e 3 2 t

Resposta

y t = e 3 2 t + 2 t e 3 2 t

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