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Enunciado

Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 1c

1. Encontrar a solução geral de cada um das equações diferenciais:

a) y ' ' + y ' - 2 y = 0

b) 8 y ' ' + 14 y ' - 15 y = 0

c) y ' ' + 4 y = 0

d) 2 y ' ' - 5 3 y ' + 6 y = 0

e) 3 y ' ' - 5 y ' + 2 y = 0

f) y ' ' - 2 y ' = 0

g) y ' ' - 2 y ' + y = 0

h) 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0

Passo 1

c) A primeira coisa que vamos fazer é achar as raízes do polinômio característico:

x 2 + 4 = 0

Fazemos bhaskara, nee, então:

x 1 = - 2 i

x 2 = 2 i

Passo 2

Como temos raízes complexas do tipo:

x 1 = a + b i

x 2 = a - b i

A solução geral vai ser:

e a t k 1 cos ⁡ b t + k 2 s e n   b t

Então a nossa solução geral:

e 0 t k 1 cos ⁡ 2 t + k 2 s e n   2 t

k 1 cos ⁡ 2 t + k 2 s e n   2 t

Resposta

k 1 cos ⁡ 2 t + k 2 s e n   2 t

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