Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 12
Determinar o valor de para que os pontos e
sejam coplanares.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D
Relembrar é viver, né? Para que um ponto seja coplanar, ou pontos sejam coplanares, ele ou eles devem estar num mesmo plano, certo?
Mas como vamos fazer isso? Bom, temos quatro pontos no problema, e num deles não sabemos uma das coordenadas. Sabemos de outros carnavais que podemos equacionar um plano com três pontos. Então a ideia aqui é equacionar o plano com os três pontos conhecidos; e, a partir dessa equação, substituir o ponto , porque se todos os pontos são coplanares, esse ponto vai satisfazer a equação do plano.
Tranquilo? Vamos começar?
Passo 2
Vamos começar equacionando o plano. Vou fazer aqui a equação geral. Poderia ser feito usando as equações paramétricas também, sem problema algum! Mas me prece que usando a equação geral fica mais fácil.
Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para cada equação do plano.
Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.
A equação geral é:
Onde são as coordenadas do ponto e as componentes do vetor.
Temos três pontos, então vou montar dois vetores, por exemplo, e . Esses vetores são paralelos ao plano, então fazendo o produto vetorial entre eles, podemos determinar um vetor normal ao plano.
E o ponto? Bom, posso escolher qualquer um entre os que sabemos, aqui vou usar o .
Passo 3
Agora vou determinar o vetor normal ao plano. Primeiro vamos construir dois vetores diretores do plano, usando os pontos que conhecemos.
Dos pontos , vamos encontrar dois vetores: um indo de até e outro indo de até :
Tranquilo?
E agora vou fazer o produto vetorial entre eles:
Passo 4
Beleza? Então até aqui temos que o vetor normal ao plano é e um ponto que pertence a ele é o (aqui poderia ser ou o ou o , certo? Qualquer um serviria =D).
Com isso, podemos escrever a equação do plano geral:
Assim a equação do plano é .
Passo 5
E se todos os pontos pertencem ao plano, então as coordenadas de satisfazem a essa equação. Então agora vou substituir as coordenadas desse ponto na equação e assim determinar o valor de .
O ponto é , e substituindo na equação do plano do passo anterior temos:
Beleza? Então o parâmetro deve valer para que esses quatro pontos e sejam coplanares.
Espero ter ajudado!
Vamos pra próxima?