O plano contém o ponto A ( 4 ,   1 ,   1 ) e é perpendicular aos planos π 1 :   2 x   +   y   -   3 z   =   0 e π 2 :   x   +   y   -   2 z   -   3   =   0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para a equação geral do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é a partir dos vetores normais aos dois planos dados fazer um produto vetorial entre eles e obter um vetor normal ao plano que queremos equacionar que é perpendicular simultaneamente aos dois planos dados. Juntando com o ponto dado, conseguimos equacionar o plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando o vetor normal ao plano π 1 . A equação do plano dado é 2 x + y - 3 z = 0 e um vetor normal a ele é v → = ( 2,1 , - 3 ) . Agora o vetor normal ao plano π 2 . A equação dele é dada por x   +   y   -   2 z   -   3   =   0 e um vetor normal é u → = 1,1 , - 2 .

E por fim podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 2 1 - 3 1 1 - 2 = i → - 2 + 3 + j → - 3 + 4 + k → ( 2 - 1 )

= 1,1 , 1

Passo 3

Agora juntando o vetor normal 1 , 1,1 com o ponto A ( 4 ,   1 ,   1 ) , podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 4 + 1 y - 1 + 1 z - 1 = 0

1 x - 4 + 1 y - 1 + 1 z - 1 = 0

x + y + z - 6 = 0

Assim a equação do plano é x + y + z - 6 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x + y + z - 6 = 0

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