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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 7

Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:

7) A 1,0 , 2 , B - 1,2 , - 1 ,   C ( 1,1 , - 1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né?Sendo assim, vou te relembrar do eu será preciso para cada equação do plano.

Para escrever um sistema de equações paramétricas do plano precisamos de dois vetores diretores do plano e de um ponto. O sistema de equações é:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Onde a 1 , b 1 , c 1 e a 2 , b 2 , c 2 são os vetores e x 0 , y 0 , z 0 é o ponto.

Já para determinar uma equação geral precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor que seja ortogonal. A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia para resolver essa questão é a seguinte:

  • A partir dos pontos, determinar dois vetores diretores do plano e escolhendo um dos pontos, escrever as equações paramétricas do plano;
  • Depois, com os mesmos dois vetores diretores, fazer um produto vetorial entre eles, e assim determinar um vetor ortogonal ao plano, que é necessário pra gente escrever a equação geral. E o ponto? Pode ser qualquer um dos três que foram dados =)

Beleza? Então a partir de agora, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Dos pontos A 1 , 0,2 , B - 1,2 , - 1 ,   C ( 1,1 , - 1 ) , vamos encontrar dois vetores: um indo de A até B e outro indo de A até C :

A B - = B - A = - 1,2 , - 1 - 1,0 , 2 = ( - 2,2 , - 3 )

A C - = C - A = ( 1,1 , - 1 ) - 1,0 , 2 = ( 0,1 , - 3 )

Tranquilo?

Passo 3

E agora escolhendo o ponto A ( 1 , 0,2 ) e com os dois vetores do passo anterior, já podemos escrever as equações paramétricas:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Agora é só substituir:

x = 1 - 2 h y = 2 h + t z = 2 - 3 h - 3 t

Beleza? Agora vamos para a equação geral?

Passo 4

Bom, vamos resgatar os dois vetores que achamos no passo 2 :

A B - = ( - 2,2 , - 3 )

A C - = ( 0,1 , - 3 )

E como esses dois vetores são paralelos ao plano, se fizermos o produto vetorial entre eles, vamos ter um vetor ortogonal ao plano. E é dele que precisamos para equacionar esse plano. Fazendo o produto vetorial:

A B - × A C - = i ^ j ^ k ^ - 2 2 - 3 0 1 - 3 = i ^ - 6 + 3 + j ^ 0 - 6 + k ^ ( - 2 + 0 )

( - 3 , - 6 , - 2 )

Passo 5

Agora usando o vetor ortogonal a , b , c = ( - 3 , - 6 , - 2 ) e escolhendo o ponto A 1,0 , 2 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) podemos escrever a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 3 x - 1 - 6 y - 0 - 2 z - 2 = 0

- 3 x - 6 y - 2 z + 3 + 4 = 0

E vou multiplicar a expressão por - 1 , mas só pra ficar bonitinho. Assim a equação geral do plano fica:

3 x + 6 y + 2 z - 7 = 0

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x = 1 - 2 h y = 2 h + t z = 2 - 3 h - 3 t

3 x + 6 y + 2 z - 7 = 0

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