Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 2f
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:
Passo 1
Partiu? Pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de , e nas colunas. A matriz da nossa transformação é:
Em seguida, a gente usa o fato de que . Arrumando, a equação, vamos obter:
Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de nessa equação. Por fim, a gente usa que de novo, pra encontrar os vetores próprios.
Passo 2
Bora pra conta!
Expandindo o determinante pela primeira linha:
Nós temos então três valores próprios: , e .
Passo 3
Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de que encontramos na equação . Primeiro vamos ver :
Multiplicando vamos obter um sistema:
Da primeira, encontramos . Substituindo na segunda, vai ficar:
Então, os vetores são os vetores próprios associados a .
Passo 4
Agora :
Isso vai nos dar um sisteminha:
Da primeira equação, , e da segunda, . Daí, os vetores próprios associados a são da forma .
Passo 5
Falta só :
Vamos ficar com:
Encontramos , mas ainda está livre. Então os vetores próprios de são da forma .