Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 3g
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:
Passo 1
Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que . Arrumando, a equação, vamos obter:
Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de nessa equação. Por fim, a gente usa que de novo, pra encontrar os vetores próprios.
Passo 2
Bora pra conta!
Expandindo pela segunda linha::
Desenvolvendo:
Fatorando, encontramos:
Por isso, os três valores próprios são iguais a .
Passo 3
Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de que encontramos na equação . Substituindo :
Multiplicando, vamos obter equações equivalentes a:
Então os vetores próprios são da forma
Resposta
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Sejam T , S : V → V com V de dimensão finita. Mostre que T SeS T possuem os mesmos autovalores.
Se p t = a 0 + a 1 t + … + a n t n é um polinômio e A e uma matriz nxn , definimos a matriz p A = a 0 I n + a 1 A + … + a n A n . Seja p ( t ) o polinômio característico da matriz A , então p A = 0
Seja V um espaço vetorial real. Seja V C a complexificação de V , ou seja, e o conjunto das expressões V + i W , em que V , W ∈ V e i = - 1 . Em V C ,V + i W = V ' + i W ' significa V = V 'eW = W ' .
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) ⎜1 1 ⎜⎜ ⎜ ⎜1 1 ⎜⎜ ⎜b) ⎜1 - 1 ⎜⎜ ⎜ ⎜24
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:(d) ⎜100 ⎜⎜ ⎜ ⎜ - 1 30⎜⎜ ⎜ ⎜32- 2⎜⎜ ⎜(e)