Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( x y , x -   y )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( x y , x - y ) . Note que o primeiro termo é de segundo grau pois se trata de um produto x por y . Assim, já temos pistas que T não será linear...

Passo 2

Se tentarmos verificar a segunda propriedade co u = ( a ,   b ) , olha o que acontece:

T λ u = T λ a , λ b = ( λ 2 a b ,   λ ( a - b ) )

Colocando λ para fora:

T λ u = λ λ a b ,   a - b ≠ λ T ( u )

Vemos que a propriedade não é válida: T não é linear!

Resposta

Não

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