Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 2e
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:
Passo 1
Bora lá! Pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de , e nas colunas. A matriz da nossa transformação é:
Em seguida, a gente usa o fato de que . Arrumando, a equação, vamos obter:
Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de nessa equação. Por fim, a gente usa que de novo, pra encontrar os vetores próprios.
Passo 2
Bora pra conta!
Expandindo o determinante pela primeira coluna:
Nós temos então três valores próprios: e .
Passo 3
Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de que encontramos na equação . Primeiro vamos ver :
Multiplicando vamos obter sempre a mesma equação:
Então, os vetores são os vetores próprios associados a . Agora :
Isso vai nos dar um sisteminha:
As duas últimas são equivalentes, e querem dizer . Substituindo isso na primeira:
Por isso, os vetores próprios de vão ser da forma .