Consideremos a seguinte base do R 3 :

B = 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   4

Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Bora lá, aqui é aplicação do processo, bem direta! O primeiro vetor da base ortonormalizada é o primeiro vetor dividido pelo módulo dele

w 1 = v 1 v 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) 1 2 + 1 2 = 1 2 ,   0 , 1 2

Passo 2

O próximo vetor vai ser:

v 2 = x 2 - x 2 ⋅ v 1 v 1 v 1 2

v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 - 1 ,   0 ,   - 1 ⋅ 1 ,   0 ,   1 1 ,   0 ,   1 1 2 + 1 2

v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 - 0 2 ( 1 ,   0 ,   1 )

v 2 = 1 ,   0 ,   - 1

E dividindo pelo módulo:

w 2 = v 2 v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 1 2 + - 1 2

w 2 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Passo 3

O terceiro e último vetor vai ser:

v 3 = x 3 - x 3 ⋅ v 2 v 2 v 2 2 - x 3 ⋅ v 1 v 1 v 1 2

v 3 = 0 ,   3 ,   4 - 0 ,   3 ,   4 ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   - 1 1 2 + - 1 2 - 0 ,   3 ,   4 ⋅ 1 ,   0 ,   1 1 ,   0 ,   1 1 2 + - 1 2

v 3 = 0,3 , 4 - - 4 2 1,0 , - 1 - 4 2 1,0 , 1 = 0,3 , 4 + 2 ,   0 , - 2 - 2,0 , 2

v 3 = 0 ,   3 ,   0

E dividindo pelo módulo:

w 3 = v 3 v 3 = 0 ,   3 ,   0 0 2 + 3 2 + 0 2

w 3 = 0,1 , 0

w 3 = 0 , 1 , 0

A nossa base ortonormal é então:

w 1 , w 2 , w 3 = 1 2 ,   0 , 1 2 , 1 2 ,   0 ,   - 1 2 , 0,1 , 0    

Resposta

w 1 , w 2 , w 3 = 1 2 ,   0 , 1 2 , 1 2 ,   0 ,   - 1 2 , 0,1 , 0    

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