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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 34

Determinar o valor de m para que seja de 30 ° o ângulo entre os planos:

π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0 e π 2 : 4 x + 5 y + 3 z - 2 = 0

Passo 1

Em questões de ângulos entre planos, vamos usar a equação

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → ∙ n 2 →

Pelo arranjo geométrico, o ângulo entre as normais dos planos é o mesmo ângulo entre os planos e, para acharmos as normais, vamos usar de uma relação.

As coordenadas das normais estão nos coeficientes que multiplicam as variáveis na equação de π .

Passo 2

Para acharmos as coordenadas das normais, vamos analisar a equação do plano.

π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 1 ,   m e 2, as coordenadas da normal n 1 → são n 1 → = ( 1 ,   m ,   2 ) .

Analisando π 2 : 4 x + 5 y + 3 z - 2 = 0 , temos os escalares que multiplicam x , y e z sendo 4 ,   5 e 3 . Assim, as coordenadas da normal n 2 → são n 2 → = 4 ,   5 ,   3

Passo 3

Vamos aplicar esses vetores na equação cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → ∙ n 2 →

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → ∙ n 2 →

cos ⁡ θ = ( 1 ,   m ,   2 ) ∙ 4 ,   5 ,   3 ( 1 ,   m ,   2 ) ∙ 4 ,   5 ,   3

cos ⁡ θ = 4 + 5 m + 6 1 2 + m 2 + 2 2 ∙ 4 2 + 5 2 + 3 2

cos ⁡ θ = 5 m + 10 5 + m 2 ∙ 50

Passo 4

Agora, temos que considerar que o ângulo entre esses planos é de 30 ° para aplicar na equação cos ⁡ θ = 5 m + 10 5 + m 2 ∙ 50

Então:

cos ⁡ 30 ° = 5 m + 10 5 + m 2 ∙ 50

3 2 = 5 m + 10 5 + m 2 ∙ 50

Passo 5

Fazendo uma multiplicação cruzada, encontramos:

3 5 + m 2 ∙ 50 = 2 5 m + 10

Elevando os dois lados ao quadrado...

3 5 + m 2 ∙ 50 2 = 2 5 m + 10 2

3 50 ∙ 5 + m 2 = 4 ∙ 5 m + 10 2

Passo 6

Por fim, vamos achar uma equação e resolver para os valores de m .

150 5 + m 2 = 4 ∙ 25 m 2 + 100 m + 100

150 m 2 + 750 = 100 m 2 + 400 m + 400

50 m 2 - 400 m + 350 = 0

1 50 × 50 m 2 - 400 m + 350 = 0 × 1 50

m 2 - 8 m + 7 = 0

Usando a fórmula de Báskhara, temos:

- - 8 ± - 8 2 - 4 ( 1 ) ( 7 ) 2 ( 1 )

8 ± 64 - 28 2

8 ± 36 2   →     8 ± 6 2

m 1 = 7

m 2 = 1

Pronto, era isso que a questão pedia.

Resposta

m 1 = 7 e m 2 = 1

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