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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 32d

Determina o ângulo entre os seguintes planos:

b) pi_1 : {[[x = 1 + h - t],[y = h + 2 t],[z = h]] e) pi_1 : {[[x = 2 + t],[y = - 2 h],[z = h + t]])

Passo 1

Para encontrar o ângulo formado entre os planos temos que utilizar a seguinte equação.

cos theta = (| vec n_1 . vec n_2 |)/(|vec n_1| . | vec n_2 |)

Lembrando que vec n_1 é vetor normal da equação geral plano r_1 e vec n_2 é o vetor normal da equação geral do plano r_2 . Foi dado equações parmétricas, para encontrar o vetor nornal teremos que fazer o produto vetorial entre o vetor diretor h e t .

Para pi_1 :

pi_1 : {[[x = 1 + h - t],[y = h + 2 t],[z = h]])

v_h 1 = ( 1,1 , 1 )

v_t 1 = ( - 1,2 , 0 )

Para pi_2 :

pi_1 : {[[x = 2 + t],[y = - 2 h],[z = h + t]])

v_h 1 = ( 0 , - 2,1 )

v_t 1 = ( 1,0 , 1 )

Passo 2

O produto vetorial de pi_1 :

|[[hat i,hat j,hat k],[1,1,1],[-,1,2,0]]| = - 2 î - hat j + 3 hat k = ( - 2 , - 1,3 )

O produto vetorial de pi_2 :

|[[hat i,hat j,hat k],[0,-,2,1],[1,0,1]]| = - 2 î + hat j + 2 hat k = ( - 2,1 , 2 )

Os termos dos vetores são os coeficientes relacionados a x , y e z de cada equação. Sendo assim.

vec n_1 = ( - 2 , - 1,3 )

vec n_2 = ( - 2,1 , 2 )

Passo 3

Substituindo vec n_1 e vec n_2 .

cos theta = (| ( - 2 , - 1,3 ) . ( - 2,1 , 2 ) |)/(|( - 2 , - 1,3 )| . | ( - 2,1 , 2 ) |)

Resolvendo os termos separadamente, temos.

|vec n_1 . vec n_2| = | ( - 2 , - 1,3 ) . ( - 2,1 , 2 ) | = |( - 2 ) ( - 2 ) + (- 1) . 1 + 3.2| = |4 - 1 + 6| = 9

|vec n_1| = sqrt((- 2)^2 + (- 1)^2 + 3^2) = sqrt(14)

|vec n_2| = sqrt(( - 2 )^2 + 1^2 + 2 ²) = sqrt(9) = 3

Substituindo-os

cos theta = (9)/(3 sqrt(14))

cos theta = (3)/(sqrt(14))

O ângulo será:

theta = cos theta^(- 1) (3)/(sqrt(14))

Resposta

theta = cos theta^(- 1) (3)/(sqrt(14))

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