Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 40

Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A ( - 1 ,   0 ,   0 ) e é paralela a cada um dos palnos

π 1 : 2 x - y - z + 1 = 0 e π 2 : x + 3 y + z - 5 = 0

Passo 1

Para essa questão, temos que achar uma equação na forma x = x 0 + x 1 t y = y 0 + y 1 t z = z 0 + z 1 t .

As coordenadas ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ) são do vetor diretor da reta paralela a esses planos. Para ser paralela esses vetores simultaneamente, o vetor diretor v → deve ser igual ao produto vetorial das normais dos planos π 1 e π 2 .

v → = n 1 → × n 2 →

Passo 2

Para acharmos as coordenadas da normal, vamos analisar a equação do plano.

π 1 : 2 x - y - z + 1 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 2 ,   - 1 e - 1 , as coordenadas da normal n 1 → são n → = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) .

Para o plano π 2 : x + 3 y + z - 5 = 0 os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 1 ,   3 e 1, as coordenadas da normal n 2 → são n 2 → = ( 1 ,   3 ,   1 ) .

Passo 3

O próximo passo para resolvermos essa questão, é tomar o produto vetorial dos vetores n 1 → e 2 →

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 - 1 - 1 1 3 1

n 1 → × n 2 → = i → - 1 - 1 3 1 - j → 2 - 1 1 1 + k → 2 - 1 1 3

n 1 → × n 2 → = i → - 1 - ( - 3 ) - j → 2 - ( - 1 ) + k → 6 - ( - 1 )

n 1 → × n 2 → = i → - 1 + 3 - j → 2 + 1 + k → 6 + 1

n 1 → × n 2 → = 2 i → - 3 j → + 7 k →

n 1 → × n 2 → = 2 ,   - 3 ,   7

Passo 4

Como v → = n 1 → × n 2 → tal que v → = 2 ,   - 3 ,   7 e a equação paramétrica, como dada no Passo 1 é:

x = x 0 + x 1 t y = y 0 + y 1 t z = z 0 + z 1 t

Onde A = x 0 ,   y 0 ,   z 0 e v → = ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 )

Analisando as coordenadas do ponto A e do vetor diretor v → , temos:

x 0 = - 1 y 0 = 0 z 0 = 0 x 1 = 2 y 1 = - 3 z 1 = 7

Tomando esses pontos, a equação paramétrica da reta fica

r : x = - 1 + 2 t y = - 3 t z = 7 t

Pronto, chegamos ao fim da questão

Resposta

r : x = - 1 + 2 t y = - 3 t z = 7 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(c) r : x - y + z = 0r : x = y = z s : x = y = 1 t : X = 1 ,2 ,3 + λ ( 0 ,2 ,1 )
Obtenha uma equação vetorial da reta h paralela ao plano π : x + y + z = 0 , concorrente com as retas r : X = 0 ,0 ,2 + α 1 ,1 ,1 ,s : X = 2 ,0 ,- 5 e t : X = - 3 , - 3 ,3 + γ ( 1 ,0 ,2 ) .
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(b) r : X = 1 ,2 ,3 + λ 1 ,2 ,3 s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y =
Sejam π 1 : 2 x = y ,π 2 : x = 0 ,π 3 : z = 0 e π 4 o plano determinado por r : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 1 ,2 ,- 1 ) e s : x + 1 = z + y = 1 . Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule, se
Verifique, que em cada caso, se existe uma reta s paralela a r e contida em π : x - 2 y + 3 z = 0 .(c) r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) e s é paralela a O x y .