Enunciado

15. Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas

r : x - 2 4 = y + 4 5 = z 3 e s : y = n x + 5 z = 2 x - 2

Passo 1

Vamos primeiro achar a direção das retas...

Pra reta r.. vamos só mexer um pouco pra deixar as equações bonitinhas:

x - 2 4 = y + 4 5

y = 5 4 x - 5 2 - 4

z 3 = x - 2 4

z = 3 4 x - 3 2

Então:

v r = 1 , 5 4 , 3 4

E pra reta s:

v s = 1 , n , 2

Passo 2

Vamos colocar na fórmula do ângulo, ne...

cos ⁡ 30 ° = v r ⋅ v s v r v s

cos ⁡ 30 ° = 1 1 + 5 4 n + 3 4 2 1 2 + 5 4 2 + 3 4 2 1 2 + n 2 + 2 2

Como...

cos ⁡ 30 ° = 3 2

Então:

3 2 = 1 1 + 5 4 n + 3 4 2 1 2 + 5 4 2 + 3 4 2 1 2 + n 2 + 2 2

Ps... atenção para resolver a parte do módulo... pra resolver uma equação que tem módulo a gente separa em dois casos, ne... fica assim:

3 2 = 1 1 + 5 4 n + 3 4 2 1 2 + 5 4 2 + 3 4 2 1 2 + n 2 + 2 2

E o outro caso:

3 2 - = 1 1 + 5 4 n + 3 4 2 1 2 + 5 4 2 + 3 4 2 1 2 + n 2 + 2 2

Resolvendo isso tudo aí...

n = 1   o u   n = 7

Resposta

n = 1   o u   n = 7

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