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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 25d

Determinar, caso exista, o ponto e interseção das retas r 1   e   r 2 :

d)

r 1 = x = 2 - t y = 3 - 5 t z = 6 - 6 t e r 2 = x = - 3 + 6 h y = 1 + 7 h z = - 1 + 13 h

Passo 1

Inicialmente devemos colocar as equações na forma reduzida. Para isso isolamos o “ t ” na primeira equação e substituímos nas demais.

r 1 = x = 2 - t y = 3 - 5 t z = 6 - 6 t

t = 2 - x  

Substituindo na equação de y e z, temos:

y = 3 - 5 2 - x       →           y = - 7 + 5 x                         ( e q u a ç ã o   I )

z = 6 - 6 2 - x           ⟶           z = - 6 + 6 x                           ( e q u a ç ã o   I I )

Aplicamos o msmo precedimento para a reta r 2 .

r 2 = x = - 3 + 6 h y = 1 + 7 h z = - 1 + 13 h

h = x + 3 6

Substituindo na equação de y e z, temos:

y = 1 + 7 x + 3 6           ⟶             y = 27 6 + 7 6 x                         ( e q u a ç ã o   I I I )

z = - 1 + 13 x + 3 6           ⟶                 z = 33 6 + 13 6 x                               ( e q u a ç ã o   I V )

Passo 2

Para sabermos se há algum ponto de interseção entre as retas (ponto comum) igualamos as equações ( I   e   I I I ) e ( I I   e   I V ) .

I =   I I I

- 7 + 5 x = 27 6 + 7 6 x

5 x - 7 6 x = 27 6 + 7

5 - 7 6 x = 27 6 + 7

23 6 x = 27 + 42 6

23 x = 69

x = 69 23

x = 3

I I = I V

- 6 + 6 x = 33 6 + 13 6 x

6 x - 13 6 x = 33 6 + 6

6 - 13 6 x = 33 6 + 6

23 3 x = 33 + 36 6

23 x = 69

x = 69 23

x = 3

Passo 3

Sabendo que o valor de x = 3 , substituiresmos nas equação de r 1 , para determinar os y   e   z . Sendo este o ponto de interseção entre as retas.

Para y

y = - 7 + 5 x

y = - 7 + 5.3

y = - 7 + 15

y = 8

Para z

z = - 6 + 6 x

z = - 6 + 6.3

z = - 6 + 18

z = 12

O ponto de interseção entre as retas é

( 3,8 , 12 )

Resposta

O ponto de interseção entre s retas r 1   e   r 2 é ( 3,8 , 12 )

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