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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 6

Determine se o conjunto de vetores dado é ortogonal. Se for, normalize cada vetor para formar um conjunto ortonormal.

u = - 2 ,   0 ,   1 ,   v = 1 ,   1 ,   2 ,   w = ( 1 ,   - 5 ,   2 )

Passo 1

Vamos lá, primeiro temos que lembrar que se um par de vetores é ortogonal temos:

u   ⋅ v = 0 , u ⋅ w = 0 , v   ⋅ w = 0

Vamos fazer v ⋅ w .

v ⋅ w = 1 * 1 - 1 * 5 + 2 * 2 = 1 - 5 + 4 = 0

Vamos fazer u ⋅ w .

u ⋅ w = - 2 * 1 - 0 * 5 + 1 * 2 = - 4 - 0 + 4 = 0

Por fim vamos fazer u ⋅ v .

u ⋅ w = - 2 * 1 + 0 * 1 + 1 * 2 = - 2 + 0 + 2 = 0

Como u   ⋅ v = 0 , u ⋅ w = 0 , v   ⋅ w = 0 , logo o conjunto é ortogonal.

Passo 2

Agora devemos normalizar esses vetores, lembrando que o processo de normalização é dado por:

u = u u

Vamos normalizar u :

u = u u

u = - 2 2 + 0 2 + 1 2 = 5

u = ( - 2 5 ,   0 , 1 5 )  

Agora vamos normalizar v :

v = v v

v = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6

v = ( 1 6 , 1 6 , 2 6 )

Por fim vamos normalizar w :

w = w w

w = 1 2 + ( - 5 ) 2 + 2 2 = 30

w = ( 1 30 , - 5 30 , 2 30 )

Resposta

O conjunto é ortogonal.

u = ( - 2 5 ,   0 , 1 5 )  

v = ( 1 6 , 1 6 , 2 6 )

w = ( 1 30 , - 5 30 , 2 30 )

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