Determine a equação geral do plano:

O plano contém os pontos A 4,1 , 0   e é perpendicular aos planos π 1 : 2 x - y - 4 z - 6 = 0     e     π 2 : x + y + 2 z - 3 = 0 .

Passo 1

E aí tudo joia?

Vamos lá, pra escrever a equação geral, a gente precisa de um vetor normal, certo?

Aqui a gente não tem...

Mas calma lá que a gente pode descobrir um usando dois vetores paralelos!

Primeiro olha só: se o nosso plano é perpendicular aos planos π 1   e   π 2 , ele é paralelo aos vetores normais de π 1   e   π 2 , certo? (Lembra que o vetor normal é perpendicular ao plano)

Então, o vetor ( 2 , - 1 , - 4 ) , que é normal a π 1 , é paralelo ao nosso plano, e o vetor ( 1,1 , 2 ) que é normal a π 2 , é paralelo ao nosso também!

Passo 2

Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores paralelos, encontramos um vetor normal ao nosso plano😉

det ⁡ i → j → k → 2 - 1 - 4 1 1 2 = i → - 1 - 4 1 2 - j → 2 - 4 1 2 + k → 2 - 1 1 1

= 2 i → - 8 j → + 3 k →

Temos um vetor normal então (uhuull!) que é o ( 2 , - 8,3 ) .

Nosso plano então é da forma:

2 x - 8 y + 3 z + d = 0

Passo 3

Vamos achar esse d agora usando um dos pontos que a gente tem:

A ( 4,1 , 0 )

2 4 - 8 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + d = 0

d = 0

O nosso plano então é:

2 x - 8 y + 3 z = 0

E prontinho! 😉

Resposta

2 x - 8 y + 3 z = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados