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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 25

Decomponha u → = ( 1 ,   2 ,   4 ) como soma de um vetor paralelo à reta r : X = 1 ,   9 ,   18 + λ ( 2 ,   1 ,   0 ) com outro paralelo ao plano

π :   x = 1 + λ y = 1 + μ z = λ - μ

Passo 1

Primeiro vamos lembrar o que é um vetor paralelo ta ok?

Pra que um vetor v → seja paralelo à reta r , ele deve ser múltiplo do seu vetor diretor, ou seja:

v → = α . ( 2 ,   1 ,   0 )

Agora, e para que um vetor seja paralelo ao plano? Não podemos simplesmente dizer que ela é paralelo aos vetores diretores do plano, até porque cada um deles tem uma direção :O

Então o que vamos fazer é o seguinte, primeiro vamos encontrar os vetores diretores do plano, pela equação, eles são:

1 ,   0 ,   1   e   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Agora vamos encontrar o vetor normal desse plano fazendo o produto vetorial dos seus vetores diretores:

n → = 1 ,   0 ,   1 ∧ 0 ,   1 ,   - 1 = ( - 1 ,   1 ,   1 )

Passo 2

Cara, basicamente, pra um vetor w → = ( x ,   y ,   z ) ser paralelo ao plano, ele deve ser perpendicular ao vetor normal do plano certo? Então:

u → . n → = 0

x ,   y ,   z . - 1 ,   1 ,   1 = 0

- x + y + z = 0

x = y + z

Então, o vetor w → , paralelo ao plano, terá o formato ( y + z ,   y ,   z ) beleza?

Passo 3

Agora sim, vamos decompor o vetor u → :

u → = α . 2 ,   1 ,   0 + ( y + z ,   y ,   z )

( 1 ,   2 ,   4 ) = 2 α + y + z ,   α + y ,   z

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

2 α + y + z = 1 α + y = 2 z = 4

Resolvendo esse sistema, encontramos α = - 5 ,   y = 7   e   z = 4 . Logo:

v → = α . 2 ,   1 ,   0 = ( - 10 ,   - 5 ,   0 )

w → = y + z ,   y ,   z = ( 11 ,   7 ,   4 )

Então

u → = 1 ,   2 ,   4 = - 10 ,   - 5 ,   0 + ( 11 ,   7 ,   4 )

Resposta

u → = 1 ,   2 ,   4 = - 10 ,   - 5 ,   0 + ( 11 ,   7 ,   4 )

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