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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 26

São dados os sistemas de equações

x = λ + 2 μ y = 1 + λ + 2 μ z = - λ - 2 μ x = x 0 + λ a + μ m y = y 0 + λ b + μ n z = z 0 + λ c + μ p

a) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,   y ,   z ) que satisfazem o primeiro sistema.

b) Enuncie uma condição necessária e suficiente para que o segundo seja sistema de equações paramétricas de um plano.

Passo 1

Opa, tudo certo? Primeiro, vamos olhar somente para o primeiro sistema, já que o enunciado da letra a) só fala dele, beleza?

x = λ + 2 μ y = 1 + λ + 2 μ z = - λ - 2 μ

Aí o enunciado quer saber o que que é esse negócio aí, tranquilo? Se a solução desse sistema é um ponto, uma reta, um plano ou se não tem solução.

Tá vendo que aparece λ + 2 μ em todos os termos? Vamos reescrever assim

x = λ + 2 μ y = 1 + λ + 2 μ = 1 + λ + 2 μ z = - λ - 2 μ = - λ + 2 μ

Só que pela primeira equação x = λ + 2 μ , então podemos reescrever da seguinte maneira

x = x

y = 1 + x

z = - x

Tá reconhecendo o que apareceu? Esse conjunto de três equações representa uma reta escrita na forma paramétrica! Show! Já respondemos a letra a) \o/

Passo 2

Na letra b) temos que olhar o seguinte sistema

x = x 0 + λ a + μ m y = y 0 + λ b + μ n z = z 0 + λ c + μ p

Agora temos que ver quais condições pra esse sistema de equações ser uma reta. Aqui tem uma sopinha de letra, né hahaha!

E o enunciado ainda não conta que valores são constantes e quais são variáveis! Baseado no passo 1, eu vou dizer aqui que λ e μ são a variáveis e x 0 ,   y 0 , z 0 , a , b , c , m , n e p são constantes, beleza? Isso significa que temos dois parâmetros λ e μ .

Mas como vamos fazer isso??? Pra isso vamos nos inspirar na letra a)! Repara uma coisa: na letra a) cada uma das coordenadas tem um termo em comum λ + 2 μ só que multiplicado por algum fator. No caso de x é multiplicado por 1 , em y por 1 e em z por - 1 .

Vamos seguir a mesma ideia aqui! Vamos impor que todas coordenadas tenham um termo em comum! Pra isso eu vou pegar o do x mesmo que é λ a + μ m . Assim vamos ter

x = x 0 + λ a + μ m

y = y 0 + α λ a + μ m

z = z 0 + β λ a + μ m

Passo 3

Agora vamos compara isso com a expressão que o enunciado deu! Como não mexemos no x vamos olhar só y e z

y = y 0 + α λ a + μ m = y 0 + λ b + μ n

  z = z 0 + β λ a + μ m + z 0 + λ c + μ p

Como λ e μ são variáveis, vamos ter que os coeficientes desses dois são iguais, assim

α a = b

α m = n

β a = c

β m = p

Dividindo a primeira pela segunda equação vamos ter

α a α m = b n → b = n m a

E dividindo a terceira pela quarta

β a β m = c p → c = p m a

Show, agora é só substituir nas nossas equações pra y e z

y = y 0 + λ n m a + μ n = y 0 + n m λ a + μ m

z = z 0 + λ p m a + μ p = z 0 + p m λ a + μ m

E como a nossa equação pra x é

x = x 0 + λ a + μ m

Essas três equações formam uma reta com parâmetro λ a + μ m !

A condição pra isso são as relações que achamos antes

b = n m a

c = p m a

Show! :D

Resposta

a)

Esse conjunto de equações representa uma reta na forma paramétrica.

b)

b = n m a

c = p m a

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