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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 16

Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo na paz? 😊

Para acharmos a equação dessa superfície esférica, precisamos encontrar as coordenadas do seu centro C e o tamanho do seu raio R .

E : x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = R 2  

Passo 2

O plano que tangencia a esfera tem seu vetor normal igual a:

n → = ( 1 , 1 , 1 )

n → é o vetor diretor da reta r que passa pelos pontos T e C (centro da esfera).Portanto:

r : x = 1 + t y = 1 + t z = - 1 + t ; t ∈ R

Passo 3

A interseção de r com o plano 3 x - y - z + 3 = 0 é o ponto C . Logo:

3 1 + t - 1 + t - - 1 + t + 3 = 0

t + 6 = 0

t = - 6

Assim:

C = ( - 5 , - 5 , - 7 )

Passo 4

A distância entre T e C é o raio.

d T , C 2 = R 2

R 2 = 1 + 5 2 + 1 + 5 2 + - 1 + 7 2

R 2 = 108

Concluímos que a equação da esfera é:

E : x + 5 2 + y + 5 2 + z + 7 2 = 108

Resposta

E : x + 5 2 + y + 5 2 + z + 7 2 = 108

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro C e raio ρ . C = 1 ,- 1 ,3 ,ρ = 2 . C = 0,0 , 0 , ρ = 1 . C = 2 ,1 ,- 3 ,ρ = 2 . C = 18 , - 1 , - 1 ,ρ = 50 . C = 0,1 , 0 ,ρ = 4 .
Mostre que, se k0 , a equação x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + k = 0 descreve uma superfície esférica, quaisquer que sejam os números reais a ,b e c .
Pelos pontos de interseção da reta X=( - 5 , - 11,9 )+ t ( 3,5 , - 4 ) e da superfície esférica ( x + 2 ) 2+( y - 1 ) 2 + ( z + 5 ) 2= 49 passam planos tangentes à superfície esférica. Determine uma e
Sejam S :x 2 + y 2+ z 2- 8 x- 10 y- 8 z+30=0 e S ' :x 2+ y 2+z 2 + 2 x+ 2 z= 10 . Ache a superfície esférica S ' ' , de maior raio, que seja tangente a S e S ' e tal que os centros de S , S ' e S ' '
Ache o centro e o raio da circunferência, intercessão das superfícies esféricas sejam x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y - 14= 0 e x 2 + y 2 + z 2 + 4 y - 2 z - 4 = 0 .