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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 03

Mostre que, se k < 0 , a equação x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + k = 0 descreve uma superfície esférica, quaisquer que sejam os números reais a ,   b e c .

Passo 1

Sabemos que a equação de uma superfície esférica é dada por

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

onde x 0 ,   y 0 ,   z 0 é a coordenada do centro da esfera e r seu raio. Tal forma é denominada de forma reduzida da equação da esfera.

Passo 2

Vamos tentar deixar a aparência da equação dada no enunciado mais parecida com a da forma reduzida. Para isso, façamos

x 2 + a x + y 2 + b y + z 2 + c z = - k ⟹

x 2 + a x + a 2 4 + y 2 + b y + b 2 4 + z 2 + c z + c 2 4 = - k + a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 ⟹

x + a 2 2 + y + b 2 2 + z + c 2 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 4 k 4

Passo 3

Como k < 0 , segue que - k > 0 . Logo, somar a 2 + b 2 + c 2 (que é um número não negativo, podendo ser nulo) com - 4 k com certeza dará um número maior que zero, que é a exigência para a existência da esfera.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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