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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 32c

Determina o ângulo entre os seguintes planos:

b) pi_1 : x + 2 y - 6 = 0 e pi_2 : y = 0

Passo 1

Para encontrar o ângulo formado entre os planos temos que utilizar a seguinte equação.

cos theta = (| vec n_1 . vec n_2 |)/(|vec n_1| . | vec n_2 |)

Lembrando que vec n_1 é vetor normal da equação geral plano r_1 e vec n_2 é o vetor normal da equação geral do plano r_2 . Os termos dos vetores são os coeficientes relacionados a x , y e z de cada equação. Sendo assim.

vec n_1 = (1,2 , 0)

vec n_2 = ( 0,1 , 0 )

Passo 2

Substituindo vec n_1 e vec n_2 .

cos theta = (| (1,2 , 0) . ( 0,1 , 0 ) |)/(|(1,2 , 0)| . | ( 0,1 , 0 ) |)

Resolvendo os termos separadamento, temos.

|vec n_1 . vec n_2| = |(1,2 , 0) . (0,1 , 0)| = |1.0 + 2.1 + 0| = |0 + 2 + 0| = 2

|vec n_1| = sqrt(1^2 + 2^2 + 0^2) = sqrt(5)

|vec n_2| = sqrt(0 + 1^2 + 0 ²) = sqrt(1) = 1

Substituindo-os

cos theta = (2)/(sqrt(5))

O ângulo será:

theta = cos theta^(- 1) (2)/(sqrt(5))

Resposta

theta = cos theta^(- 1) (2)/(sqrt(5))

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Verifique se o plano pi separa os pontos A e B .b) A = (1 , 0 , 3) B = (1 , - 1 , - 4) pi : x - y - z = 4
Verifique se o plano pi separa os pontos A e B .a) A = (1 , 2 , 3) B = (0 , - 1 , - 4) pi : x - 3 y - z = 1
Verifique se o plano π separa os pontos A e B .c) A = 0 ,0 ,0 B = 0 ,- 1 ,- 3π : x = 3 y - z - 1
Determine a parte da reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ . ( 1 ,2 ,1 ) que é visível para um observador situado no ponto ( 1 ,0 ,0 ) , supondo que os planos π 1 : x + y - z - 2 = 0 e π 2 : 2 x - y + z + 2 = 0 se
Sejam A = 1,0 , 0 ,B = 0,2 , 0 ,C = 0,0 , 3 ,π 1 : 6 x + 3 y + 2 z + 3 = 0 e π 2 : 6 x + 3 y + 2 z - 3 = 0 . Verifique se os planos interceptam o tetraedro O A B C .