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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 47

Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto A = 2 , 1 , 4 , forma ângulo de 45° com a reta t , e dista 6 da reta s , sendo

t : x = - 2 + 2 λ y = 1 + 2 λ z = λ                                                               s : x = - 2 + λ y = 3 z = 8 + λ

Passo 1

Vamos lá! Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta r que contém um ponto A = 2,1 , 4 . Portanto, temos a seguinte reta:

r : X = A + λ r →

r : X = 2,1 , 4 + λ r →

Mas nada sabemos sobre este vetor diretor. Ao analisarmos distâncias entre retas, temos que tomar muito cuidado. Precisamos considerar os dois possíveis casos: retas paralelas ou retas reversas?

A depender da posição relativa entre as retas, temos que utilizar fórmulas distintas.

Vamos começar checando a distância entre A e a reta s . Se for menor ou maior que 6, não podemos ter o caso de retas paralelas, apenas reversa. Calculando então, temos:

S A → = A - S = 2,1 , 4 - - 2,3 , 8 = 4 , - 2 , - 4

S A → ∧ s → = i j k 4 - 2 - 4 1 0 1 = - 2 , - 8,2

d A , s = | | S A → ∧ s → | | | | s → | | = 2 2 + 8 2 + 2 2 1 2 + 0 2 + 1 2 = 6

Eita! A distância é exatamente 6! Significa então que podemos ter ambos os casos de retas paralelas e retas reversas! Basta que satisfaça agora a questão do ângulo!

Passo 2

E agora? O que fazer? Então, vamos buscar utilizar um método que resolve os dois casos simultaneamente! A ideia será a seguinte. Vamos escrever um plano que é paralelo a reta s e passa pelo ponto A .

Para isto, vamos descobrir a projeção do vetor S A → , sendo S = - 2,3 , 8 ∈ s , como fizemos no passo anterior. Aí, vamos subtrair o vetor S A → da projeção.

Assim, teremos um vetor perpendicular à reta s e ele será o vetor normal do plano. E o que faremos depois de compor o plano? Discutiremos depois! Vamos obter logo este plano!

p r o j s → S A → = S A → ⋅ s → s → 2 ⋅ s →

p r o j s → S A → = 4 , - 2 , - 4 ⋅ 1,0 , 1 2 ⋅ 1,0 , 1 = 0 ⋅ 1,0 , 1 = 0 →

A projeção é o vetor nulo? Então, significa que o vetor S A → é o vetor perpendicular que estamos buscando, o vetor normal do plano! Só para facilitar as contas, vamos dividir esse vetor por 2.

Sendo assim, temos n → = 2 , - 1 , - 2 e o seguinte plano

π : 2 x - y - 2 z + d = 0

Substituindo as coordenadas de A , descobrimos que

4 - 1 - 8 + d = 0

d = 5

Então, nosso plano π é:

π : 2 x - y - 2 z + 5 = 0

Passo 3

E para quê descobrimos este plano? A nossa reta obrigatoriamente está contida nele. Isto ocorre, pois, d r , s = d A , s = 6 .

Então, se temos um ponto X = x , y , z ∈ π se, e somente se, ele satisfaz a sua equação. Portanto,

2 x - y - 2 z + 5 = 0

y = 2 x - 2 z + 5

Portanto, o ponto X será X = x , 2 x - 2 z + 5 , z . Então, vai existir algum par de valores de x e z que nos vai dar o ponto X pertencente a reta. É isto que queremos descobrir!

O vetor diretor de r será:

r → = A X → = X - A = x - 2,2 x - 2 z + 4 , z - 4

Passo 4

Agora, vamos descobrir quais as condições para x e z para que o ângulo entre as retas seja igual a 45°. Portanto,

cos ⁡ 45 ° = r → ⋅ t → | | r → | | ⋅ | | t → | |

2 2 = x - 2,2 x - 2 z + 4 , z - 4 ⋅ 2,2 , 1 x - 2 2 + 2 x - 2 z + 4 2 + z - 4 2 ⋅ 2 2 + 2 2 + 1 2

2 2 = 2 x - 2 + 2 2 x - 2 z + 4 + z - 4 x 2 - 4 x + 4 + 4 x 2 + 4 z 2 + 16 + 16 x - 16 z - 8 x z + z 2 - 8 z + 16 ⋅ 9

2 2 = 6 x - 3 z 5 x 2 + 5 z 2 + 12 x - 24 z - 8 x z + 36 ⋅ 3

2 ⋅ 6 x - 3 z = 3 2 ⋅ 5 x 2 + 5 z 2 + 12 x - 24 z - 8 x z + 36

Elevando ao quadrado ambos os membros, vamos obter:

4 ⋅ 6 x - 3 z 2 = 9 ⋅ 2 ⋅ 5 x 2 + 5 z 2 + 12 x - 24 z - 8 x z + 36

2 ⋅ 36 x 2 - 36 x z + 9 z 2 = 9 ⋅ 5 x 2 + 5 z 2 + 12 x - 24 z - 8 x z + 36

72 x 2 - 72 x z + 18 z 2 = 45 x 2 + 45 z 2 + 108 x - 216 z - 72 x z + 324

27 x 2 - 108 x = 27 z 2 - 216 z + 324

Dividindo ambos os membros por 27, temos:

x 2 - 4 x = z 2 - 8 z + 12

Agora vamos fazer um pulo do gato. Vamos somar 4 em ambos os membros. Com isto, temos:

x 2 - 4 x + 4 = z 2 - 8 z + 1 6

Fatorando,

x - 2 2 = z - 4 2

x - 2 = z - 4

Temos então duas soluções: x = 2 ± z - 4 . Uma delas nos dará um vetor paralelo a s (que já sabemos quem é, basta pegar o vetor s → = 1,0 , 1 ), e o outro será o caso de retas reversas.

Passo 5

Vamos descobrir agora, afinal, quem é o vetor diretor da reta r .

Começaremos substituindo x 1 = 2 + z - 4 no vetor A X → . Logo,

A X → = x - 2,2 x - 2 z + 4 , z - 4

A X → = 2 + z - 4 - 2 , 4 + 2 z - 8 - 2 z + 4 , z - 4

A X → = z - 4,0 , z - 4

Podemos escolher qualquer valor de z , desde que o vetor A X → seja diferente do vetor nulo. Escolhendo z = 5 , temos A X → = 1 , 0 , 1 = s → , e a seguinte reta:

r 1 : X = 2,1 , 4 + λ 1,0 , 1

Por fim, substituindo x 2 = 2 - z + 4 no vetor A X → . Logo,

A X → = x - 2,2 x - 2 z + 4 , z - 4

A X → = 2 - z + 4 - 2,4 - 2 z + 8 - 2 z + 4 , z - 4

A X → = - z + 4 , - 4 z + 16 , z - 4

Podemos escolher qualquer valor de z , desde que o vetor A X → seja diferente do vetor nulo. Escolhendo z = 3 , temos A X → = 1 , 4 , - 1 , e a seguinte reta:

r 2 : X = 2,1 , 4 + λ 1 , 4 , - 1

Resposta

r 1 : X = 2,1 , 4 + λ 1,0 , 1

r 2 : X = 2,1 , 4 + λ 1,4 , - 1

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