Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 47
Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto , forma ângulo de 45° com a reta , e dista 6 da reta , sendo
Passo 1
Vamos lá! Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta que contém um ponto . Portanto, temos a seguinte reta:
Mas nada sabemos sobre este vetor diretor. Ao analisarmos distâncias entre retas, temos que tomar muito cuidado. Precisamos considerar os dois possíveis casos: retas paralelas ou retas reversas?
A depender da posição relativa entre as retas, temos que utilizar fórmulas distintas.
Vamos começar checando a distância entre e a reta . Se for menor ou maior que 6, não podemos ter o caso de retas paralelas, apenas reversa. Calculando então, temos:
Eita! A distância é exatamente 6! Significa então que podemos ter ambos os casos de retas paralelas e retas reversas! Basta que satisfaça agora a questão do ângulo!
Passo 2
E agora? O que fazer? Então, vamos buscar utilizar um método que resolve os dois casos simultaneamente! A ideia será a seguinte. Vamos escrever um plano que é paralelo a reta e passa pelo ponto .
Para isto, vamos descobrir a projeção do vetor , sendo , como fizemos no passo anterior. Aí, vamos subtrair o vetor da projeção.
Assim, teremos um vetor perpendicular à reta e ele será o vetor normal do plano. E o que faremos depois de compor o plano? Discutiremos depois! Vamos obter logo este plano!
A projeção é o vetor nulo? Então, significa que o vetor é o vetor perpendicular que estamos buscando, o vetor normal do plano! Só para facilitar as contas, vamos dividir esse vetor por 2.
Sendo assim, temos e o seguinte plano
Substituindo as coordenadas de , descobrimos que
Então, nosso plano é:
Passo 3
E para quê descobrimos este plano? A nossa reta obrigatoriamente está contida nele. Isto ocorre, pois, .
Então, se temos um ponto se, e somente se, ele satisfaz a sua equação. Portanto,
Portanto, o ponto será . Então, vai existir algum par de valores de e que nos vai dar o ponto pertencente a reta. É isto que queremos descobrir!
O vetor diretor de será:
Passo 4
Agora, vamos descobrir quais as condições para e para que o ângulo entre as retas seja igual a 45°. Portanto,
Elevando ao quadrado ambos os membros, vamos obter:
Dividindo ambos os membros por 27, temos:
Agora vamos fazer um pulo do gato. Vamos somar 4 em ambos os membros. Com isto, temos:
Fatorando,
Temos então duas soluções: . Uma delas nos dará um vetor paralelo a (que já sabemos quem é, basta pegar o vetor ), e o outro será o caso de retas reversas.
Passo 5
Vamos descobrir agora, afinal, quem é o vetor diretor da reta .
Começaremos substituindo no vetor . Logo,
Podemos escolher qualquer valor de , desde que o vetor seja diferente do vetor nulo. Escolhendo , temos , e a seguinte reta:
Por fim, substituindo no vetor . Logo,
Podemos escolher qualquer valor de , desde que o vetor seja diferente do vetor nulo. Escolhendo , temos , e a seguinte reta: