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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 33

Determinar o valor de m para que seja de 30° o ângulo entre os planos.

π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0                                         e                                     π 2 : 4 x + 5 y + 3 z + 2 = 0

Passo 1

A equação que relaciona o ângulo formado entre os planos é

cos ⁡ θ = | n 1 → . n 2 → | n 1 → . | n 2 → |

De acordo com as informações no enunciado temos o vetor normal de cada plano ( n 1 → é vetor normal da equação geral plano r 1 e n 2 → é o vetor normal da equação geral do plano r 2 ) e o ângulo formado entre eles. Sendo assim, podemos substituir os termos afim de encontrarmos m .

n 1 → = ( 1 , m , 2 )

n 2 → = ( 4,5 , 3 )

θ = 30 °

Substituindo n 1 → , n 2 →   e   θ .

cos ⁡ 30 = | n 1 → . n 2 → | n 1 → . | n 2 → |

3 2 = | ( 1 , m , 2 ) . ( 4,5 , 3 ) | ( 1 , m , 2 ) . | ( 4,5 , 3 ) |

Resolvendo os termos separadamente, temos.

n 1 → . n 2 → = 1 , m , 2 . 4,5 , 3 = 1.4 + m . 5 + 2.3 = 4 + 5 m + 6 = 5 m + 10

n 1 → = 1 ² + m 2 + 2 2 = 5 + m ²

n 2 → = 4 2 + 5 2 + 3 ² = 50 = 5 2

Substituindo-os

3 2 = 5 m + 10 5 + m 2 . 5 2

Agora vamos multiplicar cruzado

3 . 5 + m 2 . 5 2 = 2 5 m + 10

E antes de continuar vamos dar uma simplificada, beleza?

5 + m 2 . 5 6 = 10 m + 20

5 + m 2 . 6 = 10 m + 20 5

E finalmente chegamos em

30 + 6 m 2 = 2 m + 4

Para resolver essa equaçãozinha, vamos elevar ambos o lados ao quadrado

30 + 6 m 2 = ( 2 m + 4 ) ²

Resolvendo o produto notável do lado direito

30 + 6 m 2 = 4 m 2 + 16 m + 16

Chegamos a uma equação do segundo grau

30 + 6 m 2 - 4 m 2 - 16 m - 16 = 0

2 m 2 - 16 m + 14 = 0

Resolvendo a equação, obtemos

m 1 = 7

m 2 = 1

Resposta

O valor de m 1 = 7 e m 2 = 1 .

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