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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.10 - Ex. 9b

Determine se T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

T 1   :   R 2   →   R 2 é a rotação por um ângulo θ 1 e T 1   :   R 2   →   R 2 é a rotação por um ângulo θ 2

Passo 1

A matriz que representa a projeção ortogonal sobre o eixo x é:

T 1 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1

A matriz que representa a projeção ortogonal sobre o eixo y é:

T 2 = cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Passo 2

Agora vamos fazer o produto interno obedecem ao critério apresentado

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ⋅ cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

= cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 - 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) - sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

e

T 2 ∘ T 1 = cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1

= cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 - 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

T 2 ∘ T 1 = cos ⁡ ( θ 2 + θ 1 ) - sen ⁡ ( θ 2 + θ 1 ) sen ⁡ ( θ 2 + θ 1 ) cos ⁡ ( θ 2 + θ 1 )

Sim, T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

Resposta

Sim

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em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.a) T x , y = ( 1 , 1 ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( 2 x + y , x - y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.c) T x , y = ( y , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial. T x , y = ( 2 x , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.a) T x , y = ( x , x + y + z ) .