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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 2b

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2

    2. ( x , y ) → x + y , x - y

  2. g : R 2 → R

    3. ( x , y ) → x y

  3. h : M 2 → R

    4. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  4. k : P 2 → P 3

    5. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  5. M : R 3 → R 2

    6. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  6. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos dar uma olhada na letra b   e testar as propriedades que são necessárias para que uma transformação seja linear.

Passo 2

Para ser uma transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

No item b temos um par de valores ( x ,   y ) e queremos testar se eles são lineares quando aplicamos o produto entre x   e   y :

b )   g : R 2 → R

( x , y ) → x y

Então podemos montar u   e v com valores distintos e abstratos:

  u = x 1 , y 1 → x 1 × y 1 v = x 2 , y 2 → x 2 × y 2

Ou seja:

T u = x 1 × y 1

T v = x 2 × y 2

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade. Estamos somando pares ordenados, então os primeiros termos de cada par se somam, e o mesmo acontece entre os segundos termos, gerando um novo par ordenado:

T u + v = T x 1 ,   y 1 + x 2 ,   y 2 = T ( x 1 + x 2   ,   y 1 + y 2 )

Aplicando a transformação:

T x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 = x 1 + x 2 × y 1 + y 2

Fazendo o chuveirinho e utilizando pontos para representar a multiplicação e melhorar a notação:

T u + v = x 1 . y 1 + x 2 . y 2 + x 1 . y 2 + x 2 . y 1

Fizemos o lado esquerdo da nossa propriedade e agora precisamos testar se ele é igual a T u + T ( v ) .

T u + T v = x 1 × y 1 + x 2 × y 2

Mudando nossa notação e testando as igualdades temos:

T u + v = T u + T v

x 1 . y 1 + x 2 . y 2 + x 1 . y 2 + x 2 . y 1 ≠ x 1 . y 1 + x 2 . y 2

Como T u + v ≠ T u + T ( v ) , essa transformação não é linear.

Passo 4

Nosso item b já não é uma transformação linear, mas vamos analisar a segunda propriedade também:

T k u = T k x ,   k y = k x × k y = k 2 . x . y = k 2 . T x , y

No caso, T k x , k y ≠ k T ( x , y ) a transformação não é linear :D

Resposta

Não é linear.

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Seja T : R 2 → R 2 tal que T = - 1 0- 2 1 . Ache os vetores u ,v tal que: T u = u T v = - v
Seja P 3 = c o n j u n t od o sp o l i n ô m i o sc o mg r a um e n o ro ui g u a la3 ô , e T : P 3 → P 3 f → f ' ( d e r i v a d a ) Mostre que P 3 é um espaço vetorial de dimensão 4.Mostre que T é u
Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 com base β = 1 00 0 , 0 01 0 , 0 10 0 , 0 00 1 . Se T : V → R 2 é dada por T a cb d = a + d , b + c Ache T α β onde α é a base canônica de R 2 .Se S : R 2 →
Se R = 1 - 12 3 e S = 1 20 1- 1 1 , ache R ∘ S .
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x