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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 14

Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 com base β = 1 0       0 0 , 0 0       1 0 , 0 1       0 0 , 0 0       0 1 . Se T : V → R 2 é dada por T a c       b d = a + d , b + c

  1. Ache T α β onde α é a base canônica de R 2 .

    2. Se S : R 2 → V e S β α = 2 1 - 1 0       1 - 1 0 1

  2. Ache S e, se for possível, a , b tal que S a , b = 1 0       0 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

Temos que:

T a c       b d = a + d , b + c

Aplicando em β , temos:

T 1 0       0 0 = 1 + 0 , 0 + 0

T 1 0       0 0 = 1,0

T 0 0       1 0 = 0 + 0 , 1 + 0

T 0 0       1 0 = 0,1

T 0 1       0 0 = 0 + 0 , 0 + 1

T 0 1       0 0 = 0,1

T 0 0       0 1 = 0 + 1 , 0 + 0

T 0 0       0 1 = 1,0

Logo:

T α β = 1 0       0 1       0 1       1 0

Passo 2

Primeiro vamos encontar S ( x , y ) .

Temos que:

2 1 - 1 0       1 - 1 0 1 x y = 2 x + y x - y - x y

Aplicando na combinação linear, temos:

S x , y = 2 x + y 1 0       0 0 + x - y 0 0       1 0 - x 0 1       0 0 + y 0 0       0 1

S x , y = 2 x + y 0       0 0 + 0 0       x - y 0 + 0 - x       0 0 + 0 0       0 y

S x , y = 2 x + y - x       x - y y

Para encontrar a coordenada ( a , b ) que faz com que S a , b = 1 0       0 1 , temos:

S a , b = 2 a + b - a       a - b b

Temos que:

2 a + b - a       a - b b = 1 0       0 1

Logo:

2 a + b = 1

a - b = 0

- a = 0

b = 1

Temos uma indeterminação nas continhas acima, por isso não podemos determinar ( a , b ) nessas condições. As igualdades não batem.

Resposta

a )   T α β = 1 0       0 1       0 1       1 0

b )   S x , y = 2 x + y - x       x - y y

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