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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 2e

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2

    2. ( x , y ) → x + y , x - y

  2. g : R 2 → R

    3. ( x , y ) → x y

  3. h : M 2 → R

    4. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  4. k : P 2 → P 3

    5. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  5. M : R 3 → R 2

    6. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  6. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item e):

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Vamos aplicar ao problema. A lei para este problema é:

  M : R 3 → R 2

x , y , z → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

T x , y , z = x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

Vamos considerar um u e um v de tal forma que respeitem a lei:

  u = x 1 , y 1 , z 1 → x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1 v = x 2 , y 2 , z 2 → x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Ou seja:

T u = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

T v = x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Passo 2

Vamos aplicar a soma:

T x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 = T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

T u + v = T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

T u + v = x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 1 0 1       2 - 1 1

Podemos retratar da seguinte maneira:

T u + v = x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Ou:

T u + v = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1 + x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Como discutido anteriormente, sabemos que:

T u = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

T v = x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Portanto:

T u + v = T u + T v

Passo 3

Analisando agora o produto:

T k u = k T u

Como:

T u = M x 1 , y 1 , z 1 = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

Temos que:

T k u = M k x 1 , y 1 , z 1 = M k x 1 , k y 1 , k z 1

Aplicando a transformação, temos:

T k u = k x 1 , k y 1 , k z 1 1 0 1       2 - 1 1

Isolando a constante k , temos:

T k u = k x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

Portanto:

T k u = k T u

Logo, podemos ver que é transformação linear.

Resposta

e) É transformação linear.

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Seja P 3 = c o n j u n t od o sp o l i n ô m i o sc o mg r a um e n o ro ui g u a la3 ô , e T : P 3 → P 3 f → f ' ( d e r i v a d a ) Mostre que P 3 é um espaço vetorial de dimensão 4.Mostre que T é u
Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 com base β = 1 00 0 , 0 01 0 , 0 10 0 , 0 00 1 . Se T : V → R 2 é dada por T a cb d = a + d , b + c Ache T α β onde α é a base canônica de R 2 .Se S : R 2 →
Se R = 1 - 12 3 e S = 1 20 1- 1 1 , ache R ∘ S .
No Exercício 11 determine ker ⁡ T , I mT , I mS , ker ⁡ S e comprove a validade dos teoremas 5.3.9 e 5.4.5 para estas transformações.