Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2
  2. ( x , y ) → x + y , x - y

  3. g : R 2 → R
  4. ( x , y ) → x y

  5. h : M 2 → R
  6. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  7. k : P 2 → P 3
  8. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  9. M : R 3 → R 2
  10. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  11. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item e):

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Vamos aplicar ao problema. A lei para este problema é:

  M : R 3 → R 2

x , y , z → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

T x , y , z = x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

Vamos considerar um u e um v de tal forma que respeitem a lei:

  u = x 1 , y 1 , z 1 → x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1 v = x 2 , y 2 , z 2 → x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Ou seja:

T u = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

T v = x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Passo 2

Vamos aplicar a soma:

T x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 = T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

T u + v = T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

T u + v = x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 1 0 1       2 - 1 1

Podemos retratar da seguinte maneira:

T u + v = x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Ou:

T u + v = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1 + x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Como discutido anteriormente, sabemos que:

T u = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

T v = x 2 , y 2 , z 2 1 0 1       2 - 1 1

Portanto:

T u + v = T u + T v

Passo 3

Analisando agora o produto:

T k u = k T u

Como:

T u = M x 1 , y 1 , z 1 = x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

Temos que:

T k u = M k x 1 , y 1 , z 1 = M k x 1 , k y 1 , k z 1

Aplicando a transformação, temos:

T k u = k x 1 , k y 1 , k z 1 1 0 1       2 - 1 1

Isolando a constante k , temos:

T k u = k x 1 , y 1 , z 1 1 0 1       2 - 1 1

Portanto:

T k u = k T u

Logo, podemos ver que é transformação linear.

Resposta

e) É transformação linear.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados