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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 18

No Exercício 11 determine ker ⁡ T , I m   T , I m   S , ker ⁡ S e comprove a validade dos teoremas 5.3.9 e 5.4.5 para estas transformações.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o exercício 11 temos as seguintes transformações:

T v = x - y 2 , x - y 2 , 2 x + y

S v = ( 2 y , x - y , x )

Nos é pedido o núcleo e imagem de cada transformação. Vamos lá.

Para T temos:

ker ⁡ T = v ∈ V ;   T v = 0

Ou seja:

x - y 2 , x - y 2 , 2 x + y = 0

Temos que:

x - y 2 = 0

2 x + y = 0

2 x = - y

x + 2 x 2 = 0

3 x 2 = 0

x = 0

y = 0

Logo:

ker ⁡ T = { 0 }

dim ⁡ ker ⁡ T = 0

Indicando que é injetora.

Para a imagem temos:

I m   T : T v = w

T v = x - y 2 , x - y 2 , 2 x + y

T v = x 1 2 , 1 2 , 2 + y - 1 2 , - 1 2 , 1

Logo:

I m   T = 1 2 , 1 2 , 2 , - 1 2 , - 1 2 , 1

dim ⁡ I m   ( T ) = 2

Passo 2

Para S temos:

ker ⁡ S = v ∈ V ;   S v = 0

Ou seja:

( 2 y , x - y , x ) = 0

Temos que:

2 y = 0

x - y = 0

x = 0

x = y = 0

Logo:

ker ⁡ S = { 0 }

dim ⁡ ker ⁡ S = 0

Indicando que é injetora.

Para a imagem temos:

I m   S : S v = w

S v = ( 2 y , x - y , x )

S v = x 0 , 1 , 1 + y 2 , - 1,0

Logo:

I m   S = 0,1 , 1 , 2 , - 1,0

dim ⁡ I m   ( S ) = 2

Passo 3

Nos é pedido para verificar os teoremas teoremas 5.3.9 e 5.4.5 para estas transformações. Temos que:

T e o r e m a   5.3 . 9 : Seja T : V → W uma aplicação linear.

dim ⁡ ker ⁡ T + dim ⁡ I m   T = dim ⁡ V

Logo:

0 + 2 = 2

Sendo V o R 2 .

Resposta

ker ⁡ T = { 0 }

I m   T = 1 2 , 1 2 , 2 , - 1 2 , - 1 2 , 1

ker ⁡ S = { 0 }

I m   S = 0,1 , 1 , 2 , - 1,0

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