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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 20

Se λ é autovalor da transformação linear T : V → V e v é um autovetor associado a ele, mostre que

  1. k v é outro autovetor associado a λ se k ≠ 0 .
  2. O conjunto formado pelos autovetores associados a λ e o vetor nulo é subespaço de V .

Passo 1

  1. Se T v = λ v para v ≠ 0 , então para o autovetor k v pode-se afirmar que:

    2. T k v = k T v = k λ v = λ k v

    Portanto k v é outro autovetor associado a λ se k ≠ 0 .

    Passo 2

  2. Lembre-se que todo núcleo é subespaço vetorial. Seja v os autovetores associados a λ e V o subespaço associado a λ , ou seja, V λ = v ∈ V : T v = λ v .

Como V λ = ker ⁡ t - λ I temos que:

v ∈ V λ → T v = λ v → T v = λ v → t v - λ I v = 0 → T - λ I v = 0

Logo, como temos uma transformação que resulta em uma imagem nula, afirma-se que:

v ∈ ker ⁡ T - λ I → V λ = ker ⁡ T - λ I

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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