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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 22

Seja D : P 3 → P 3

f → f " ( d e r i v a d a   s e g u n d a )

Mostre que D é linear e determine uma base para ker ⁡ D .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

u = p x

v = q x

D u = p ' ' x

D v = q ' ' ( x )

Para que seja transformação linear, temos que:

i )   T u + v = T u + T ( v )

i i )   T k u = k T ( u )

Logo:

D p x + q x = D p + q x

D u + v = D p x + D q x

D u + v = p ' ' x + q ' ' ( x )

D u + v = D u + D v

E:

D k p x = k D p x

D k u = k p ' ' x

D k u = k D ( u )

Portanto é transformação linear.

Passo 2

Temos que:

ker ⁡ D : D v = 0

f ' ' ( x ) = 0

Seja:

f x = a + b x + c x 2 + d x 3

f ' x = b + 2 c x + 3 d x 2

f ' ' x = 2 c + 6 d x

Logo:

2 c = 0

6 d = 0

c = d = 0

As variáveis a e b ficam livre pois ker ⁡ D ∈ P 2 . Logo:

ker ⁡ D = k 1 , k 2 , 0,0 = k 1 1,0 , 0,0 + k 2 ( 0,1 , 0,0 )

ker ⁡ D = k 1 , k 2

dim ⁡ ker ⁡ D = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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