Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 8a
- Determine todas as matrizes A, 2x2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2x2, ou sejam tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
Passo 1
Primeiramente, sabemos que A é uma matriz 2x2 diagonal, ou seja:
E B é uma matriz 2x2 qualquer:
Passo 2
Agora, devemos descobrir quais os x e y em A que permitem que A e B comutem, ou seja AB = BA. Por multiplicação de matrizes:
Reescrevendo:
E a outra multiplicação (BA) pode ser descrita por:
Reescrevendo:
Passo 3
Por fim, como foi dito, para que A e B comutem, AB = BA. Ou seja:
Dessa relação, tiramos que bx = by e cx = cy, para todo b e todo c.
Resposta
A matriz A deve ser diagonal e ter os elementos da diagonal iguais. Assim:
, para todo x.
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