Enunciado

Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus pontos, os pontos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 - x 4 = 4 x 1 + x 2 - x 3 + x 4 = - 4 x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 2

Passo 1

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1         1 0 - 1 4 1 1 - 4 2

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

1 1 1 0 0 0 1 1 1 - 1 - 1 1         1 0 - 2 4 1 1 - 4 2

Agora L 3 = - L 1 + L 3 :

1 1 1 0 0 0 0 1 0 - 1 - 2 1         1 0 - 2 4 0 1 - 4 2

Aqui vamos fazer L 4 = - L 1 + L 4 :

1 1 1 0 0 0 0 0 0 - 2 - 2 0         1 0 - 2 4 0 0 - 4 2

Vamos trocar de posição a linha 4 com a linha 2 :

1 1 1 0 - 2 0 0 0 0 0 - 2 0         1 0 0 2 0 - 2 - 4 4

Agora L 2 = - 1 2 L 2 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 - 2 0         1 0 0 - 1 0 - 2 - 4 4

Aqui vamos fazer L 3 = - 1 2 L 3 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0         1 0 0 - 1 0 - 2 2 4

Calma, tá acabando, fazendo L 4 = - 1 2 L 4 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0         1 0 0 - 1 0 1 2 - 2

E aqui vamos fazer L 1 = - L 4 + L 1 :

1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0         0 2 0 - 1 0 1 2 - 2

Agora L 1 = - L 3 + L 1 :

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         0 0 0 - 1 0 1 2 - 2

Pronto, por último vamos fazer L 1 = - L 2 + L 1 :

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         0 1 0 - 1 0 1 2 - 2

Pronto, achamos a matriz ampliada linha reduzida à forma escada.

O posto é o número de linhas não nulas, assim o posto é p = 4 .

O posto da matriz dos coeficientes é p = 4 .

Passo 2

Agora tá simples de acharmos as soluções:

x 1 = 1 x 2 = - 1 x 3 = 2 x 4 = - 2

O grau de liberdade é a diferença entre o número de variáveis e o número de equações não nulas na forma escada, assim aqui o valor é:

4 - 4 = 0

Resposta

Matriz ampliada reduzida a forma escada: 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0         0 1 0 - 1 0 1 2 - 2

Posto é 4

Posto da matriz dos coeficientes é 4

x 1 = 1 x 2 = - 1 x 3 = 2 x 4 = - 2

Grau de liberdade é 0

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Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente. Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A B j , em que B j = b 1 j ⋮ b p j é a j-ésima coluna de B, ou seja, se B =B 1 … B n , ent
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se B =b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 m b 2 m ⋮⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m é uma matriz nxm, então E t i B é igual à linh