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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 7

Encontre todas as soluções do sistema

{[[x_1 + 3 x_2 + 2 x_3 + 3 x_4 - 7 x_5 = 14],[2 x_1 + 6 x_2 + x_3 - 2 x_4 + 5 x_5 = - 2],[x_1 + 3 x_2 - x_3 + 2 x_5 = - 1]])

Passo 1

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema, é bem simples:

[[[1,3,2],[2,6,1],[1,3,-,1]] [[3,-,7,14],[-,2,5,-,2],[0,2,-,1]]]

Passo 2

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L_2 = - 2 L_1 + L_2 :

[[[1,3,2],[0,0,-,3],[1,3,-,1]] [[3,-,7,14],[-,8,19,-,30],[0,2,-,1]]]

Agora L_3 = - L_1 + L_3 :

[[[1,3,2],[0,0,-,3],[0,0,-,3]] [[3,-,7,14],[-,8,19,-,30],[-,3,9,-,1,5]]]

Fazendo L_2 = - (1)/(3) L_2 :

[[[1,3,2],[0,0,1],[0,0,-,3]] [[3,-,7,14],[(8)/(3),-,(19)/(3),1,0],[-,3,9,-,15]]]

Aqui vamos fazer L_3 = 3 L_2 + L_3 :

[[[1,3,2],[0,0,1],[0,0,0]] [[3,-,7,14],[(8)/(3),-,(19)/(3),10],[5,-,10,15]]]

Agora com L_3 = (1)/(5) L_3 :

[[[1,3,2],[0,0,1],[0,0,0]] [[3,-,7,14],[(8)/(3),-,(19)/(3),10],[1,-,2,3]]]

Calma que uma hora acaba, fazendo L_2 = - (8)/(3) L_3 + L_2 :

[[[1,3,2],[0,0,1],[0,0,0]] [[3,-,7,14],[0,-,1,2],[1,-,2,3]]]

Dessa vez L_1 = - 3 L_3 + L_1 :

[[[1,3,2],[0,0,1],[0,0,0]] [[0,-,1,5],[0,-,1,2],[1,-,2,3]]]

E agora por último L_1 = - 2 L_2 + L_1 :

[[[1,3,0],[0,0,1],[0,0,0]] [[0,1,1],[0,-,1,2],[1,-,2,3]]]

Pronto, agora tá simples, achamos que:

{[[x_1 + 3 x_2 + x_5 = 1],[x_3 - x_5 = 2],[x_4 - 2 x_5 = 3]])

Isolando os termos vamos ter:

x_4 = 2 x_5 + 3

x_3 = x_5 + 2

x_1 = - 3 x_2 - x_5 + 1

Pronto, essa é a solução.

Resposta

x_4 = 2 x_5 + 3

x_3 = x_5 + 2

x_1 = - 3 x_2 - x_5 + 1

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Mostre que as matrizes A =1 1 y y 1 , em que y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2X.
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