Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 8b

b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.

Passo 1

Primeiramente, sabemos que A é uma matriz 2x2 qualquer, ou seja:

E B também é uma matriz 2x2 qualquer:

Passo 2

Agora, para descobrirmos quais os valores dos elementos em A que permitem que A e B comutem, ou seja, AB = BA, devemos primeiro descobrir os resultados de AB e de BA. Por multiplicação de matrizes:

E a outra multiplicação (BA) pode ser descrita por:

Passo 3

Como foi dito que as matrizes A e B comutam, então devemos igualar AB e BA:

Disso podemos tirar que:

Como os elementos de B podem assumir quaisquer valores, substituindo b = 0 e c =1, temos que:

E substituindo b = 1 e c = 0:

Ou seja:

Resposta

A matriz A deve ser diagonal. Pelo exercício 1.1.8a, infere-se que a matriz, além de diagonal, deve ainda ter seus elementos iguais, ou seja:

, para todo x.

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