b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.

Passo 1

Primeiramente, sabemos que A é uma matriz 2x2 qualquer, ou seja:

A = x y z w

E B também é uma matriz 2x2 qualquer:

B = a b c d

Passo 2

Agora, para descobrirmos quais os valores dos elementos em A que permitem que A e B comutem, ou seja, AB = BA, devemos primeiro descobrir os resultados de AB e de BA. Por multiplicação de matrizes:

A B =   a x + c y b x + d y c w + a z d w + b z

E a outra multiplicação (BA) pode ser descrita por:

B A =   a x + b z b w + a y c x + d z d w + c y

Passo 3

Como foi dito que as matrizes A e B comutam, então devemos igualar AB e BA:

a x + c y b x + d y c w + a z d w + b z =   a x + b z b w + a y c x + d z d w + c y

Disso podemos tirar que:

c y = b z

b x + d y =   b w + a y

c w + a z =   c x + d z

d w + b z =   d w + c y

Como os elementos de B podem assumir quaisquer valores, substituindo b = 0 e c =1, temos que:

1 y = 0

y = 0

E substituindo b = 1 e c = 0:

0 = 1 z

z = 0

Ou seja:

A = x 0 0 w

Resposta

A matriz A deve ser diagonal. Pelo exercício 1.1.8a, infere-se que a matriz, além de diagonal, deve ainda ter seus elementos iguais, ou seja:

A = x 0 0 x , para todo x.

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