Discuta, segundo os valores de a , a existência e a unicidade de uma reta t que contenha o ponto P = ( 1 ,a ,0 ) e seja concorrente com r : X = 1 ,1 ,1 + λ( 1 ,2 ,3 ) e s : X = 1 ,2 ,1 + μ( 0 ,0 ,1 ) .

a = 1 ⇒ não existe reta t a = 2 ⇒ existem infinitas retas t a ≠ 1ea ≠ 2 ⇒ existe uma única reta t

Enunciado

Queremos achar uma reta que passe por e seja concorrente com e . Para isso, vamos denotar dois pontos genéricos e , um em e outro em :

Para que exista a reta pedida, os pontos , e deve ser colineares. Isso ocorre se

Os vetores e são dados por

Assim, a relação é reescrita como

Nós queremos discutir para que valores de esse sistema tem solução. Da primeira equação, tiramos:

Substituindo na segunda equação:

Vamos ter que estudar essa equação!

A equação que nos interessa é

Para , a equação vira

o que claramente é um absurdo. Assim, a reta não existe para . Já para , obtemos

Note que nesse caso, o ponto é o próprio ponto . Nesse caso, existe infinitas retas que passam por e interceptam a reta .

Por fim, para e , achamos

Esse valor é único, assim como os pontos e . Desta forma, nesse caso, a reta é única!

não existe reta

existem infinitas retas

existe uma única reta