Obtenha uma equação vetorial da reta contida em π : x - y + z = 0 que é concorrente com as retas

r :   x + y + 2 z = 2 x + z = 1                                                           s :   x + 2 = z y = 0

Passo 1

Nesse problema, queremos achar uma reta que está contida no plano π : x - y + z = 0 e que seja concorrente com as retas r e s . Para isso, vamos achar os pontos de intersecção dessas retas com o plano. Primeiro com a reta r .

Temos que resolver o sistema

x - y + z = 0 x + y + 2 z = 2 x + z = 1

Da última equação, tiramos z = 1 - x . Substituindo nas duas primeiras:

x - y + 1 - x = 0 x + y + 2 - 2 x = 2 ⇒ y = 1 - x + y = 0

Portanto, obtemos x = y = 1 e z = 0 . Assim, o ponto A = ( 1 ,   1 ,   0 ) é a intersecção do plano π com a reta r . Esse é o único ponto que a reta r corta o plano π .

Passo 2

Agora fazemos o mesmo com areta s :

x - y + z = 0 x + 2 = z y = 0

Substituindo a terceira equação na primeira, obtemos

x = - z x + 2 = z

Susbituindo uma na outra:

- z + 2 = z ⇒ z = 1 ⇒ x = - 1

Portanto, o ponto de encontro da reta s com o plano π é

B = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Passo 3

Os pontos A e B são os únicos pontos das retas r e s , respectivamente, que estão no plano π . Sendo assim, a reta pedida deve passar por eles! O vetor diretor é

u → = B - A = - 1 ,   0 ,   1 - 1 ,   1 ,   0 = ( - 2 ,   - 1 ,   1 )

Assim, a equação vetorial da reta é

X = 1 ,   1 ,   0 + λ   ( - 2 ,   - 1 ,   1 )

Resposta

X = 1 ,   1 ,   0 + λ   ( - 2 ,   - 1 ,   1 )

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