Obtenha uma equação vetorial da reta paralela a π 1 : x + 2 y + z - 1 = 0 e π 2 : x + 4 y + 2 z = 0 e concorrente com as retas

r :   2 x - 2 y = z x - 3 y = 1                                                           s :   4 x - 2 y + z = 2 x + 2 y - z = 3

Passo 1

Como a reta que queremos deve ser paralela a π 1 e π 2 , o seu vetor diretor deve ser ortogonal aos vetores normais dos planos, que são

n → 1 = 1 ,   2 ,   1             e             n → 2 = ( 1 ,   4 ,   2 )

Assim, se u → = ( a ,   b ,   c ) é o vetor diretor, temos que

a ,   b , c ⋅ 1 ,   2 ,   1 = 0 ⇒ a + 2 b + c = 0 ⇒ c = - a - 2 b

Para o outro vetor normal:

a ,   b ,   - a - 2 b ⋅ 1 ,   4 ,   2 = 0 ⇒ a + 4 b - 2 a - 4 b = 0 ⇒ a = 0

Assim,

u → = 0 ,   b ,   - 2 b = b   ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Vamos usar

u → = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Passo 2

Nosso objetivo agora á achar uma reta paralela ao vetor u → = ( 0 ,   1 ,   - 2 ) e que seja concorrente com as retas r e s . Note que esse exercício agora é muito parecido com o exercício resolvido 18-1 deste capítulo.

Para isso, vamos escrever um ponto genérico M que pertence a reta r . Note que da segunda equação, tiramos

x = 1 + 3 y

Substituindo na primeira:

2 + 6 y - 2 y = z ⇒ z = 2 + 4 y

Assim, um ponte genérico na reta r é dado por

M = ( 1 + 3 y ,   y ,   2 + 4 y )

Fazendo o mesmo com a reta s , temos que

x = 3 - 2 y + z ⇒ 12 - 8 y + 4 z - 2 y + z = 2 ⇒ 10 - 10 y + 5 z = 0 ⇒ z = - 2 + 2 y

Assim,

N = 3 - 2 y - 2 + 2 y ,   y ,   - 2 + 2 y = ( 1 ,   y ,   - 2 + 2 y )

Para não usar a mesma letra nos dois pontos, vamos reescrever como

M = 1 + 3 m ,   m ,   2 + 4 m               e             N = ( 1 ,   n ,   - 2 + 2 n )

Esses pontos são os pontos que a reta procurada intercepta as retas r e s . Para isso, devemos ter

M N → = k   u →

Assim,

- 3 m = 0 n - m = k - 4 + 2 n - 4 m = - 2 k

Passo 3

Da primeira equação tiramos que m = 0 . Aí, na segunda, obtemos n = k . Substituindo na terceira:

- 4 + 2 n = - 2 n ⇒ n = 1

Portanto, os pontos são

M = 1 ,   0 ,   2             e           N = ( 1 ,   1 ,   0 )

Para achar a equação da reta pedida, basta escolher um deles. Vou escolher M :

X = 1 ,   0 ,   2 + λ   ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Essa resposta não é única, tá? O que importa é a direção do vetor diretor ser a mesma e você escolher um ponto que esteja na reta!

Resposta

X = 1 ,   0 ,   2 + λ   ( 0 ,   1 ,   - 2 )

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