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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 21

A distância entre uma reta r que passa por um ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) e tem vetor diretor V = ( a r , b r , c r ) e um plano π : a π x + b π y + c π z + d π = 0   é definida como a menor distância entre dois pontos um de r e outro de π .   Se o vetor diretor da reta r , V = a r , b r , c r , não é ortogonal ao vetor normal do plano π , N = ( a π , b π , c π ) , então a reta e o plano são concorrentes e a distância entre eles é igual à zero, caso contrário a distância é igual À distância de uma ponto de reta r ao plano π . Mostre que d i s t r , π = a π x 0 + b π y 0 + c π z 0 + d π a π 2 + b π 2 + c π 2 , s e   V . N = 0 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 1

Falaaa aeee, blz?

A partir de uma análise do enunciado, vemos que quando concorrentes, nossa reta r e nosso plano π possuem distância nula.

Ou seja, V = a r , b r , c r e N = ( a π , b π , c π ) não são perpendiculares. Logo:

N . V   ≠ 0

Portanto:

d i s t r , π = 0 ,   p o i s   r   e   π   s e   c r u z a m   e m   u m   p o n t o .

Passo 2

No caso de V . N = 0 :

d i s t r , π = d i s t P 0 , π =   a π x 0 + b π y 0 + c π z 0 + d π a π 2 + b π 2 + c π 2  

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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