Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que

V 1 = 0 ,   2 ,   - 2 ,   1   e   V 2 = ( 2 ,   1 ,   - 2 ,   3 )

São autovetores de A associados a λ 1 = 2 e

V 3 = - 2 ,   0 ,   1 ,   2   e   V 4 = ( - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   2 )

São autovetores de A associados a λ 2 = 4, determine, se possível, uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que A = P D P t .

Passo 1

Vamos lá para mais uma resolução!!

Sabemos que a matriz é diagonalizável e que seus autovetores são ortogonais dado o fato de que ela é simétrica. Dessa forma, ortogonalizando dentre de cada autoespaço:

W 1 = V 1

Ou seja:

W 1 = 0 ,   2 ,   - 2 ,   1

W 2 = V 2 - p r o j W 1 W 2

Em que

p r o j W 1 V 2 =   W 1 ∙ V 2 W 1 W 1

Dessa forma:

W 2 = ( 2 ,   - 1 ,   0 ,   2 )

W 3 = V 3

Ou seja:

W 3 = - 2 ,   0 ,   1 ,   2

W 4 = V 4 - p r o j W 3 V 4

p r o j W 3 V 4 = W 3 ∙ V 4 W 3 W 3  

W 4 = ( - 1 , - 2 , - 2 ,   )

Passo 2

Agora, calculando os vetores ortonormais:

U 1 = W 1 W 1

U 1 = ( 0 , 2 3 ,   - 2 3 , 1 3 )

U 2 = W 2 W 2

U 2 = ( 2 3 , - 1 3 ,   0 , 2 3 )

U 3 = W 3 W 3

U 3 = ( - 2 3 , 0 , 1 3 , 2 3 )

U 4 = W 4 W 4

U 4 = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 ,   0 )

Passo 3

Organizando os vetores em uma matriz:

P = 0 2 3 - 2 3 1 3 2 3 - 1 3 0 2 3 - 2 3 1 3 0 2 3 1 3 2 3 2 3 0

E resolvendo A = P D P t :

D = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 4

Resposta

P = 0 2 3 - 2 3 1 3 2 3 - 1 3 0 2 3 - 2 3 1 3 0 2 3 1 3 2 3 2 3 0

D = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 4

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = - 7 24 0 0 24 7 0 0 0 0 - 7 24 0 0 24 7
2. Prove: se Q for uma matriz ortogonal, então cada entrada de Q é dada pelo seu cofator se det ⁡ ( Q ) = 1 e pelo negativo de seu cofator se det ⁡ ( Q ) = - 1 .
Determinar, se possível, uma matriz M ∈ M 2 ( R ) de maneira que M - 1 A M seja diagonal, nos seguintes casos: b )3 - 2 2 1
Determinar, se possível, uma matriz M ∈ M 2 ( R ) de maneira que M - 1 A M seja diagonal, nos seguintes casos: a )2 4 3 13
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes 1 0 0 m 2 0 n 0 2