Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que

V 1 = 0 ,   2 ,   - 2 ,   1   e   V 2 = ( 2 ,   1 ,   - 2 ,   3 )

São autovetores de A associados a λ 1 = 2 e

V 3 = - 2 ,   0 ,   1 ,   2   e   V 4 = ( - 3 ,   - 2 ,   - 1 ,   2 )

São autovetores de A associados a λ 2 = 4, determine, se possível, uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que A = P D P t .

Passo 1

Vamos lá para mais uma resolução!!

Sabemos que a matriz é diagonalizável e que seus autovetores são ortogonais dado o fato de que ela é simétrica. Dessa forma, ortogonalizando dentre de cada autoespaço:

W 1 = V 1

Ou seja:

W 1 = 0 ,   2 ,   - 2 ,   1

W 2 = V 2 - p r o j W 1 W 2

Em que

p r o j W 1 V 2 =   W 1 ∙ V 2 W 1 W 1

Dessa forma:

W 2 = ( 2 ,   - 1 ,   0 ,   2 )

W 3 = V 3

Ou seja:

W 3 = - 2 ,   0 ,   1 ,   2

W 4 = V 4 - p r o j W 3 V 4

p r o j W 3 V 4 = W 3 ∙ V 4 W 3 W 3  

W 4 = ( - 1 , - 2 , - 2 ,   )

Passo 2

Agora, calculando os vetores ortonormais:

U 1 = W 1 W 1

U 1 = ( 0 , 2 3 ,   - 2 3 , 1 3 )

U 2 = W 2 W 2

U 2 = ( 2 3 , - 1 3 ,   0 , 2 3 )

U 3 = W 3 W 3

U 3 = ( - 2 3 , 0 , 1 3 , 2 3 )

U 4 = W 4 W 4

U 4 = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 ,   0 )

Passo 3

Organizando os vetores em uma matriz:

P = 0 2 3 - 2 3 1 3 2 3 - 1 3 0 2 3 - 2 3 1 3 0 2 3 1 3 2 3 2 3 0

E resolvendo A = P D P t :

D = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 4

Resposta

P = 0 2 3 - 2 3 1 3 2 3 - 1 3 0 2 3 - 2 3 1 3 0 2 3 1 3 2 3 2 3 0

D = 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 4

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