Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 1e
Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que seja diagonal.
e)
Passo 1
Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):
Calculando o determinante da nossa nova matriz:
det =
det =
Igualando a zero e resolvendo:
0
x = 0
x = 1
x = 2
Passo 2
Substituindo x = 0 na matriz ():
Escalonando:
Resolvendo como um sistema () = 0:
Assim, temos
a(-1, 1, 0)
Substituindo x = 1 na matriz ():
Escalonando:
Resolvendo como um sistema () = 0:
Assim, temos
a(0, 0, -1)
Substituindo x = 2 na matriz ():
Escalonando:
Resolvendo como um sistema () = 0:
Assim, temos
a(1, 1, 0)
Passo 3
Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:
Assim, a matriz ortogonal é tal que:
, que gera
Resposta
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6. Sejam T : R 3 → R 3 linear, α = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , a base canônica de R 3 , β = 0,1 , 1 , 0 , - 1,1 , 1,0 , 1 e T α α = 2 0 1 0 - 3 1 0 0 - 3 Encontre o polinômio característico de T , o
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
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