1. Mostre que se A = a b c d , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?

Passo 1

Como foi dado no exercício que

A = a b c d

det(A) = ad – bc

Além disso:

det(A) = 0

Assim:

ad – bc = 0

ad = bc

Passo 2

Como ad = bc, isso implica que as linhas são múltiplas uma da outra, pela propriedade de proporcionalidade.

Ainda, se uma linha é múltiplo escalar da outra, isso indica que:

a b = α c d

Pela distributiva:

α c d = α c α d

a b = α c α d

Passo 3

Calculando o determinante:

det ⁡ α c α d c d =   α c d - α d c

Nesse sentido, notamos que

α c d - α d c = 0

Ou seja,

det ⁡ α c α d c d = 0

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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