Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 20a
- Mostre que se , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?
Passo 1
Como foi dado no exercício que
det(A) = ad – bc
Além disso:
det(A) = 0
Assim:
ad – bc = 0
ad = bc
Passo 2
Como ad = bc, isso implica que as linhas são múltiplas uma da outra, pela propriedade de proporcionalidade.
Ainda, se uma linha é múltiplo escalar da outra, isso indica que:
Pela distributiva:
Passo 3
Calculando o determinante:
Nesse sentido, notamos que
Ou seja,
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.
Exercícios de Livros Relacionados
Seja f uma função que faz corresponder a cada par de vetores v = a 1 , b 1 ,w = ( a 2 , b 2 ) um número real f ( v , w ) . (Noutras palavras, tem-se uma função, f : R 2 → R 2 . ) Suponha que f tem as
Prove que os vetores u = a 1 , b 1 , c 1ev = ( a 2 , b 2 , c 2 ) sã0 linearmente independentes se, e somente se, d e t a 1 b 1 a 2 b 2 2 + d e t a 1 c 1 a 2 c 2 2 + d e t b 1 c 1 b 2 c 2 2 ≠ 0
Efetuando a multiplicação das matrizes, mostre diretamente que m.(adj.m)= det.m.I3
Usando a transposta mT, mostre que, se detm ≠ 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3
Seja m uma matriz 3 x 3 cujas as linhas u, v e w são, duas a duas, ortogonais. Calcule o produto m . m T e parti daí, conclua que d e t . m = | u | . | v | . | w | .