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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 26d

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .

d) Mostre que tr(AB) = tr(BA)

Passo 1

Dadas duas matrizes quadradas, nxn:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ,   B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

O produto matricial é tal que:

A B =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∙ b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

A B =   a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 a 11 b 12 + … + a 1 n b n 2 a 21 b 11 + … + a 2 n b n 1 a 21 b 12 + … + a 2 n b n 2 ⋯ ⋯ a 11 b 1 n + … + a 1 n b n n a 21 b 1 n + … + a 2 n b n n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a n 1 b 11 + … + a n n b n 1 a n 1 b 12 + … + a n n b n 2 ⋯ a n 1 b 1 n + … + a n n b n n

Logo:

tr(AB) = ( a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 ) + (   a 21 b 12 + … + a 2 n b n 2 ) + ...   + (   a n 1 b 1 n + … + a n n b n n )

Passo 2

Agora, realizando o produto BA:

B A =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ∙ a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

B A = a 11 b 11 + … + a n 1 b 1 n a 12 b 11 + … + a n 2 b 1 n a 11 b 21 + … + a n 1 b 2 n a 12 b 21 + … + a n 2 b 2 n ⋯ ⋯ a 1 n b 11 + … + a n n b 1 n a 1 n b 21 + … + a n n b 2 n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a 11 b n 1 + … + a n 1 b n n a 12 b n 1 + … + a n 2 b n n ⋯ a 1 n b n 1 + … + a 2 n b n n  

E tr(BA) = ( a 11 b 11 + … + a n 1 b 1 n ) + ( a 12 b 21 + … + a n 2 b 2 n ) + … + ( a 1 n b n 1 + … + a 2 n b n n )

Passo 3

Comparando as equações obtidas, percebemos que ambas possuem os mesmos elementos, ainda que a ordem da soma não seja a mesma:

tr(AB) = ( a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 ) + (   a 21 b 12 + … + a 2 n b n 2 ) + ...   + (   a n 1 b 1 n + … + a n n b n n )

tr(BA) = ( a 11 b 11 + … + a n 1 b 1 n ) + ( a 12 b 21 + … + a n 2 b 2 n ) + … + ( a 1 n b n 1 + … + a 2 n b n n )

Nota-se, por exemplo que o elemento a 1 n b n 1 e o elemento a n 1 b 1 n estão com posições trocadas em cada expressão.

Como os elementos se repetem e a ordem da soma não altera seu resultado:

tr(AB) = tr(BA)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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