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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 26b

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .

b) Mostre que tr(αA) = αtr(A)

Passo 1

Dada uma matriz A quadrada:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

tr(A) = a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n

Passo 2

O produto de A pelo escalar α é dado por:

α A =   α a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

α A =   α a 11 α a 12 α a 21 α a 22 ⋯ ⋯ α a 1 n α a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ α a n 1 α a n 2 ⋯ α a n n

Ou seja,

tr( α A) = α a 11 + α a 22 + α a 33 + … + α a n n

Passo 3

Visto que αtr(A) pode ser escrito na forma:

αtr(A) = α ( a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n ) =   α a 11 + α a 22 + α a 33 + … + α a n n  

tr(αA) = αtr(A)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja p (m) = 2 m^3 - 5 m^2 + 7 m - 6 I_3 . Se n é invertível mostre que n^(- 1) p (m) n = p ( n^(- 1) m n )
Dada a matriz: m = - 3 5 4 5 4 5 3 5 Mostre que m 2 = I 2 . Ache números α , β tais que a matriz p = α m + β I 2 cumpra p 2 = p e seja não-nula. A partir daí, encontre uma matriz não-nula q tal que p
Prove que a multiplicação de matrizes é uma operação associativa: m n p = m ( n p ) .
Efetuada a mudança de eixos dada pela matriz do exercício anterior (sem mover a origem), determine os ângulos que cada um dos novos eixos forma com o antigo. m = 1 7 2 6 x 3 2 y 6 - 3 z
Seja m uma matriz ortogonal 3 x 3 . Se m . x = d , onde x = [[[x],[y],[z]]] e d = [[[d_1],[d_2],[d_3]]] , Prove que d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = x^2 + y^2 + z^2 .